О числе точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях

В теории гиперболической дзета-функции решёток значительную роль играет теорема Бахвалова, в которой величина дзета-функции решётки решений линейного сравнения оценивается через гиперболический параметр решётки.
В монографии Н. М. Коробова 1963 года эта теорема доказывается методом, отличным от первоначальной работы Н. С. Бахвалова. В этом методе центральную роль играет лемма о количестве решений линейного сравнения в прямоугольной области.
В работе даются новые оценки количества точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях. Это позволяет доказать усиленную теорему Бахвалова об оценки гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения.
Отличия теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях от соответствующей леммы Коробова состоит в том, что вместо одной оценки через отношение объёма прямоугольной области к гиперболическому параметру добавлены ещё два случая и в первом случае уменьшена константа. Использование теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях приводит к необходимости в доказательстве теоремы Бахвалова–Коробова рассматривать
различные области применения теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях.

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та.

3. № 4. С. 3–18.

4. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Че-

5. бышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 4 — 109.

6. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышев-

7. ский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27–33.

8. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближен-

9. ного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9,

10. вып. 1(25). С. 185 – 223.

11. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Известия ТулГУ. Сер.

12. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82 – 90.

13. М. Н. Добровольский Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебы-

14. шевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 1(4) С. 95 – 121.

15. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных

16. параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3,

17. вып. 2(4) С. 43 – 59.

18. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84,

19. № 6090–84.

20. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с

21. оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3.

22. Вып. 1 (3) С. 41—48.

23. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов

24. // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

25. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т.

26. , № 6. С. 1207 — 1210.

27. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960.

28. Т. 132. N 5. С. 1009—1012.

29. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

30. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические

31. заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83 — 90.

32. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание)

33. М.: МЦНМО, 2004.

34. Коробов Н. М. Об одной оценке в методе оптимальных коэффициентов // Тезисы IV Все-

35. российской конференции „Современные проблемы математики, механики, информатики“.

36. Тула, 2002. С. 39—40.

37. Н. М. Коробов, Н. М. Добровольский Критерии оптимальности и алгоритмы поиска

38. оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. Тула. 2007. Т. 8, вып. 4(24) С. 105

39. – 128.

40. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.

41. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки

42. // Чебышевский сборник. 2009 Т. 10, вып. 1(29). С. 65–77.

43. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом

44. остановки // Материалы 7 международной конференции <Алгебра и теория чисел: совре-

45. менные проблемы и приложения>. 2010. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 153 —

46.

47. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом

48. остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моде-

49. лирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика

50. Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильеви-

51. ча Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича

52. Буравихина" Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2011. С. 153 — 158.

53. Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy, Nadegda K.

54. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing optimal coefficients // Book

55. of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology"

56. , Odessa, August 20—26, 2012. p. 22 — 24.

57. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К.,

58. Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближен-

59. ном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современ-

60. ные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного университета.

61. № 6. Часть 2. С. 90 — 98.

62. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Изве-

63. стия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 1293 — 201.

64. Серегина Н. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Изве-

65. стия ТулГУ. Естественные науки. 2015. В печати.