On the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-130-144
Abstract
In the theory of the hyperbolic zeta function of lattices, a significant role is played by the Bakhvalov theorem, in which the magnitude of the zeta function of the lattice of linear comparison solutions is estimated through the hyperbolic lattice parameter.
In N. M. Korobov’s 1963 monograph, this theorem is proved by a method different from the original work of N. S. Bakhvalov. In this method, the central role is played by the lemma about the number of linear comparison solutions in a rectangular area.
The paper gives new estimates of the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular regions. This allows us to prove the strengthened Bakhvalov theorem on the evaluation of the hyperbolic zeta function of the lattice of solutions of linear comparison.
The difference between the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular regions and the corresponding Korobov lemma is that instead of one estimate through the ratio of the volume of a rectangular region to a hyperbolic parameter, two more cases are added and in the first case the constant is reduced. The use of the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas leads to the
need to prove the Bakhvalov–Korobov theorem to consider various areas of application of the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas.
About the Authors
Nadezhda Konstantinovna Ter-Gukasova
National Research University Higher School of Economics
Russian Federation
Russian Federation
HR Clerk of the HR Administration Department
of the HSE Personnel Department
Mikhail Nikolaevich Dobrovolsky
Geophysical Center of the Russian Academy of Sciences
Russian Federation
Russian Federation
candidate of physical and mathematical sciences, Senior
researcher
Nikolai Nikolaevich Dobrovol’skii
Tula State University; Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University
Russian Federation
Russian Federation
candidate of physical and mathematical sciences
Nikolai Mikhailovich Dobrovol’skii
Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University
Russian Federation
Russian Federation
doctor of physical and mathematical sciences, professor
References
1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.
2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та.
3. № 4. С. 3–18.
4. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов //
5. Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 4 — 109.
6. Bykovskij, V.А 2002, “On the error of number-theoretic quadrature formulas”, Chebyshevskij
7. sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27–33.
8. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. О погрешности приближен-
9. ного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9,
10. вып. 1(25). С. 185 – 223.
11. Добровольский М. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Известия ТулГУ. Сер.
12. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82 – 90.
13. М. Н. Добровольский Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Че-
14. бышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 1(4) С. 95 – 121.
15. Добровольский М. Н., Добровольский Н. М., Киселева О. В. О произведении обобщенных
16. параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. 2002. Т.
17. , вып. 2(4) С. 43 – 59.
18. Добровольский Н. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84,
19. № 6090–84.
20. Добровольский Н. М., Коробов Н. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с
21. оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Тула, 2002.
22. Т. 3. Вып. 1 (3) С. 41—48.
23. Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов
24. // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.
25. Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т.
26. , № 6. С. 1207 — 1210.
27. Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960.
28. Т. 132. N 5. С. 1009—1012.
29. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.
30. Коробов Н. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические
31. заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83 — 90.
32. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание)
33. М.: МЦНМО, 2004.
34. Коробов Н. М. Об одной оценке в методе оптимальных коэффициентов // Тезисы IV Все-
35. российской конференции „Современные проблемы математики, механики, информатики
36. “. Тула, 2002. С. 39—40.
37. Н. М. Коробов, Н. М. Добровольский Критерии оптимальности и алгоритмы поиска
38. оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. Тула. 2007. Т. 8, вып. 4(24) С.
39. – 128.
40. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.
41. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки
42. // Чебышевский сборник. 2009 Т. 10, вып. 1(29). С. 65–77.
43. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом
44. остановки // Материалы 7 международной конференции <Алгебра и теория чисел: совре-
45. менные проблемы и приложения>. 2010. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 153 —
46.
47. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с прави-
48. лом остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштаб-
49. ное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения
50. академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сер-
51. гея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора
52. Анатольевича Буравихина" Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2011. С. 153 — 158.
53. Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy, Nadegda K.
54. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing optimal coefficients // Book
55. of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology"
56. , Odessa, August 20—26, 2012. p. 22 — 24.
57. Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Добровольский Н. Н., Огородничук Н. К.,
58. Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в прибли-
59. женном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: со-
60. временные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного уни-
61. верситета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90 — 98.
62. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Изве-
63. стия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 1293 — 201.
64. Серегина Н. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Изве-
65. стия ТулГУ. Естественные науки. 2015. В печати.
Review
For citations:
Ter-Gukasova N.K., Dobrovolsky M.N., Dobrovol’skii N.N., Dobrovol’skii N.M. On the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):130-144. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-130-144
Views:
289
Email this article 