Метод Ритца решения дифференциальных уравнений в частных производных с применением теоретико-числовых сеток

Аннотация

Рассмотрим задачу
𝐿𝑢(⃗𝑥) = 𝑓(⃗𝑥),
𝑢(⃗𝑥)⃒⃒𝜕𝐺𝑠= 𝑔(⃗𝑥),
где 𝑓(⃗𝑥), 𝑔(⃗𝑥) ∈ 𝐸𝛼
𝑠 , 𝐿 — линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, 𝐺𝑠 — единичный куб [0; 1]𝑠.
Её решение сводится к отысканию минимума функционала
𝑣(𝑢(⃗𝑥)) =∫︁. . .𝐺𝑠∫︁ 𝐹 (⃗𝑥, 𝑢, 𝑢𝑥1 , . . . , 𝑢𝑥𝑠 ) 𝑑𝑥1 . . . 𝑑𝑥𝑠
при заданных граничных условиях.
Значения функционала 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) в методе Ритца рассматриваются не на множестве всех допустимых функций 𝑢(⃗𝑥), а на линейных комбинациях 𝑢(⃗𝑥) = 𝑊0(⃗𝑥) + Σ︁𝑛 𝑘=1 𝑤𝑘𝑊𝑘(⃗𝑥),
где 𝑊𝑘(⃗𝑥) — некоторые базисные функции, которые будем находить с помощью теоретико-числовой интерполяции, причём 𝑊0(⃗𝑥) — функция, удовлетворяющая заданным граничным условиям, а остальные 𝑊𝑘(⃗𝑥) удовлетворяют однородным граничным условиям.
На этих полиномах данный функционал превращается в функцию 𝜙( ⃗𝑤) от коэффициентов 𝑤1, . . . ,𝑤𝑛. Эти коэффициенты выбираются так, чтобы функция 𝜙( ⃗𝑤) достигала экстремума. При некоторых ограничениях на функционал 𝑣(𝑢(⃗𝑥)) и базисные функции 𝑊𝑘(⃗𝑥) получим приближённое решение краевой задачи.