Проблема Ферма — Торричелли в случае трёх точек в нормированных плоскостях
https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-72-86
Аннотация
В статье изучается проблема Ферма — Торричелли: задача поиска точки, минимизирующей сумму расстояний от неё до некоторых заданных точек в нормированном пространстве. Рассмотрены различные обобщения данной задачи, а также изложены актуальные методы решения и некоторые последние результаты в этой области. Целью работы является поиск ответа на следующий вопрос: в каких нормах на плоскости решение задачи Ферма
— Торричелли единственно для любых трёх точек. В работе сформулирован и доказан критерий единственности, кроме того показано применение полученного критерия на нормах, задаваемых правильными многоугольниками, так называемых лямбда-плоскостях.
При поддержке: Работа выполнена при поддержке гранта РНФ 21-11-00355 в МГУ имени М. В. Ломоносова
Об авторе
Даниил Александрович Илюхин
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
Россия
Россия
студент
Список литературы
1. Bajaj C. The algebraic degree of geometric optimization problems. // 1988. Discr. Comput.
2. Geom., 3, 177–191.
3. Bannikova A. G., Ilyutko D.P., Nikonov I. M. The Length of an Extremal Network in a Normed
4. Space: Maxwell Formula // 2016. Journal of Mathematical Sciences, 214:5, 593–608.
5. Boltyanski V., Martini H., Soltan V. Geometric methods and optimization problems. // 1999.
6. Kluwer Acad. Publ.
7. Brazil M., Graham R. L., Thomas D. A., Zachariasen M. On the History of the Euclidean Steiner
8. Tree Problem // 2013.
9. Cieslik D. The Fermat-Steiner-Weber-problem in Minkowski spaces. // 1988. Optimization 19,
10. –489.
11. Cockayne E. J., Melzak Z. A. Euclidean constructibility in graph-minimization problems. //
12. Math. Mag., 42, 206–208.
13. Courant R., Robbins H. What Is Mathematics? // 1941. Oxford University Press.
14. Durier R., Michelot C. Geometrical properties of the Fermat-Weber problem. // 1985. Europ.
15. J. Oper. Res. 20, 332–343.
16. Hwang F. K., Richards D., Winter P. The Steiners Tree Problem. // 1992. Elsevier Science
17. Publishers.
18. Ильютко Д. П. Разветвленные экстремали функционала 𝜆-нормированной длины. // 2006.
19. Матем. сб., 197:5, 75–98.
20. Ильютко Д.П., Никонов И. М. Экстремальные сети на 𝜆-нормированной плоскости, где
21. 𝜆=3,4,6. // 2017. Матем. сб., 208:4, 17–50.
22. Иванов А. О., Тужилин А. А. Разветвленные геодезические в нормированных простран-
23. ствах. // 2002. Изв. РАН. Сер. матем., 66:5, 33–82
24. Иванов А. О., Тужилин А. А. Теория экстремальных сетей. // 2003. Москва-Ижевск: Ин-
25. ститут компьютерных исследований.
26. Ivanov A.O., Tuzhilin A. A. Minimal Networks. Steiner Problem and Its Generalizations. //
27. CRC Press.
28. Jarn´ık V., K¨ossler M. O minim´aln´ıch grafech obsahuj´ıc´ıch n dan´ych bodu // 1934. ˆCas,
29. Pˆestov´an´ı Mat. (Essen) Т. 63: 223—235.
30. Kupitz Y. S., Martini H. Geometric aspects of the generalized Fermat–Torricelli problem. //
31. Bolyai Society Mathematical Studies 6, 55-127.
32. Лаут И. Л., Овсянников З. Н. Вид минимальных разветвлённых геодезических в нормиро-
33. ванном пространстве определяет норму. // Фундаментальная и прикладная математика,
34. , том 18, 2, с. 67-77.
35. Martini H., Swanepoel K. J., Weis G. The Fermat–Torricelli problem in normed planes and
36. spaces. // 2002. Journal of Optimization Theory and Applications 115, 283-314.
37. Nguyen S. D. Constrained Fermat-Torricelli-Weber Problem in real Hilbert Spaces // 2018.
38. ArXiv e-prints. arXiv:1806.04296.
39. Torricelli E. De maximis et minimis. // 1919. Opere di Evangelista Torricelli, Faenza, Italy.
40. Uteshev A. Y. Analytical solution for the generalized Fermat–Torricelli problem // 2014. The
41. American Mathematical Monthly 121(4), 318–331.
42. Zachos A. N. An analytical solution of the weighted Fermat-Torricelli problem on the unit sphere
43. // 2014. ArXiv e-prints. arXiv:1408.6495.
Рецензия
Для цитирования:
Илюхин Д.А. Проблема Ферма — Торричелли в случае трёх точек в нормированных плоскостях. Чебышевский сборник. 2022;23(5):72-86. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-72-86
For citation:
Ilyukhin D.A. The Fermat–Torricelli problem in the case of three-point sets in normed planes. Chebyshevskii Sbornik. 2022;23(5):72-86. (In Russ.) https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-5-72-86
Просмотров:
2998
Послать статью по эл. почте 