Некоторые результаты для весовых констант Бернштейна — Никольского

В данной небольшой обзорного плана работе мы приводим последние результаты по точным константам Бернштейна — Никольского для полиномов на многомерной единичной
сфере в пространстве 𝐿𝑝 с весом Данкля и оператором Бельтрами–Данкля и родственным весовым константам для полиномов и целых функций экспоненциального типа и операторами Гегенбауэра, Бесселя. Долгое время классическим направлением теории неравенств Бернштейна — Никольского было установление порядкового роста констант в зависимо-
сти от роста степени полиномов. Современным развитием теории является доказательство асимптотических равенств типа Левина — Любинского, которые уточняют порядковые соотношения. Основные результаты здесь получили F. Dai, M. Ganzburg, E. Levin,
D. Lubinsky, S. Tikhonov, авторы работы.
Мы отталкиваемся от доказанных ранее соотношений между многомерной константой Бернштейна — Никольского и одномерной константой для алгебраических полиномов с весом и дифференциальным оператором Гегенбауэра. В случае группы отражений октаэдра и функции кратности 𝜅, такой что min 𝜅 = 0, имеет место равенство между этими константами. Как следствие, для 𝑝 > 1 это позволяет выписать асимптотические равенства
равенства Левина — Любинского для констант Бернштейна — Никольского с целой степенью оператора Бельтрами — Данкля. Случай min 𝜅 > 0 рассмотрен для случая констант Никольского и окружности. Для подпространства четных полиномов с четными гармониками установлена связь с точной константой Никольского для полиномов на компактных однородных пространствах ранга 1. Это позволило выписать равенство Левина — Любинского для поточечных констант при всех 𝑝 > 0 и обычных констант при 𝑝 > 1, которое согласуется с известным порядковым неравенством.
Предельные константы в асимптотических равенствах Левина — Любинского выражаются через константы Бернштейна — Никольского для целых функций экспоненциального типа на евклидовом пространстве, полуоси со степенным весом и операторами Лапласа, Лапласа — Данкля, Бесселя. Дальнейшее уточнение значений констант связано с их оценкой при больших значения размерности пространства или степени степенного веса. В работе мы приводим схему получения таких оценок для случая пространства 𝐿_1. Этот случай также интересен тем, что он связан с экстремальной проблемой Ремеза о концентрации 𝐿_1-нормы.

1. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere //

2. J. d’Anal. Math. 2020. Vol. 140, № 1. P. 161–185.

3. Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical

4. polynomials // Journal of Complexity. 2021. Vol. 65. 101553.

5. Dai F., Tikhonov S. Weighted fractional Bernstein’s inequalities and their applications //

6. J. d’Anal. Math. 2016. Vol. 129. P. 33–68.

7. Dai F., Xu Yu. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. N.Y.:

8. Springer, 2013.

9. Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. II. Invariance theorems and certain

10. multivariate inequalities of different metrics // Constr. Approx. 2019. Vol. 50. P. 543–577.

11. Горбачев Д.В. Константы Никольского–Бернштейна для неотрицательных целых функций

12. экспоненциального типа на оси // Тр. ИММ УрО РАН. 2018. Том 24, № 4. С. 92–103.

13. Горбачев Д.В. Константы Никольского для компактных однородных пространств // Че-

14. бышевский сборник. 2021. Том 22, № 4. С. 100–113.

15. Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Об экстремальных задачах типа Никольского–

16. Бернштейна и Турана для преобразования Данкля // Чебышевский сборник. 2019. Том 20,

17. № 3. С. 394–400.

18. Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского–Бернштейна в 𝐿𝑝 на сфере

19. с весом Данкля // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 4. С. 302–307.

20. Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н., Мартьянов И.А. Уточнение константы Бернштей-

21. на — Никольского для сферы с весом Данкля в случае группы октаэдра // Чебышевский

22. сборник. 2021. Том 22, № 5. С. 354–358.

23. Горбачев Д.В., Иванов В.И. Константы Никольского–Бернштейна для целых функций

24. экспоненциального сферического типа в весовых пространствах // Тр. ИММ УрО РАН.

25. Том 25, № 2. С. 75–87.

26. Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. Границы полиномиальных констант Никольского в 𝐿𝑝

27. с весом Гегенбауэра // Тр. ИММ УрО РАН. 2020. Том 26, № 4. С. 126–137.

28. Иванов В.А. О неравенствах Бернштейна — Никольского и Фавара на компактных одно-

29. родных пространствах ранга 1 // УМН. 1983. Том 38, № 3 (231). С. 179–180.

30. Temlyakov V., Tikhonov S. Remez-type and Nikol’skii-type inequalities: General relations and

31. the hyperbolic cross polynomials // Constr. Approx. 2017. Vol. 46. P. 593–615.

32. Xu Y. Intertwining operator associated to symmetric groups and summability on the unit

33. sphere // J. Approx. Theory. 2021. Vol. 272. 105649.