Точное решение задачи о поэтапной деформации многослойного цилиндра из несжимаемого гипоупругого материала

Работа посвящена одной из задач теории наложения больших деформаций. Представлен алгоритм точного решения задачи о формировании бесконечного кругового составного цилиндра из некоторого конечного количества гипоупругих слоёв. Задача решается в квазистатической постановке. Модель гипоупругости, соответствующая материалу цилиндрических слоёв, описывается уравнениями состояния с участием коротационной производной
Динса. При присоединении каждый очередной слой претерпевает две фазы деформации на протяжении некоторых отрезков времени. Первая фаза деформации — радиальное расширение или сжатие цилиндрического слоя. Вторая фаза деформации - кручение. Каждый очередной слой присоединяется к составному гипоупругому цилиндрическому телу после окончания деформации предыдущего слоя. При этом, деформация каждого гипоупругого слоя влияет на общее состояние составного цилиндра, то есть на все внутренние слои. Требуется определить поле напряжений в составном гипоупругом цилиндре. В работе описаны используемые при решении задаче обозначения и системы координат. Описаны все основные шаги решения задачи, в том числе вычисление компонент тензора напряжений. Также
приведены формулы осевой силы и крутящего момента составного цилиндра. Проведены численные исследования. Результаты численных исследований — графики зависимости
осевой силы и крутящего момента от параметров деформаций — представлены в конце работы.

1. Мартынова Е.Д. Процессы кручения цилиндрических образцов из несжимаемых вязко-

2. упругих материалов Максвелловского типа // Прикладная математика и механика. 2019.

3. Т. 83. Вып. 1. С. 95–106.

4. Овчинникова Н.В. Задача о кручении гипоупругого несжимаемого цилиндра // Матема-

5. тическое моделирование и экспериментальная механика деформируемого твердого тела:

6. Межвузовский сборник научных трудов. Вып. 3. Тверь: Тверской государственный тех-

7. нический университет. 2020. С. 65-72.

8. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder

9. with Inclusion at Large Initial Deformations // International Journal of Solids and Structures.

10. , V. 51, No. 6. P. 1403-1409.

11. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. Torsion of a Composite Nonlinear Elastic Cylinder

12. with a Prestressed Inclusion // Doklady Physics. 2013. V. 58, No. 12. P. 540-543.

13. Levin V.A., Zubov L.M., Zingerman K.M. An exact solution for the problem of flexure of a

14. composite beam with preliminarily strained layers under large strains // International Journal

15. of Solids and Structures. 2015. V. 67–68. P. 244-249. https://www.sciencedirect.com/

16. science/article/pii/S0020768315001973?via

17. Levin V.A., Zingerman K.M. A class of methods and algorithms for the analysis of successive

18. origination of holes in a pre-stressed viscoelastic body. Finite strains. Communications in Numerical

19. Methods in Engineering. 2008. V. 24, Issue 12. P. 2240-2251. https://doi.org/10.1002/

20. cnm.1080.

21. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

22. Truesdell K.: A first course in rational continuum mechanics. Johns Hopkins University,

23. Baltimore, Maryland, 1972, 592 p.

24. Dienes J.K. On the analysis of rotation speed and stress in deformable bodies. Acta Mech. 1979.

25. V. 32. P. 217-232.

26. Dienes J.K. A discussion of material rotation and stress rate. Acta Mech. 1986. V. 65. P. 1–11.

27. Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. Развитие математи-

28. ческого аппарата и основ общей теории. М.: Наука. 2017. 431 с.

29. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности

30. при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Московский университет.

31. С. 68–81.

32. Бровко Г.Л. Объективные тензоры и их отображения в классической механике сплошной

33. среды // Известия АН. Механика твердого тела. 2021. Т. 56. № 1. С. 65-83.

34. Финошкина А.С. Использование новых объективных производных в простейших моделях

35. гипоупругости и пластического течения с кинематическим упрочнением // Известия Туль-

36. ского государственного университета. Сер. Математика, механика, информатика. 2000. С.

37. -166.

38. Финошкина А.С. К построению моделей пластичности при конечных деформациях на

39. основе определяющих соотношений, известных при малых деформациях // Упругость и

40. неупругость: материалы Международного научного симпозиума по проблемам механики

41. деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. М.: Ле-

42. нанд. 2006. С. 256–264.

43. Konovalov D., Vershinin A., Zingerman K., Levin V. The implementation of spectral element

44. method in a CAE system for the solution of elasticity problems on hybrid curvilinear meshes.

45. Modelling and Simulation in Engineering, 2017, 2017, 1797561.

46. Karpenko V.S., Vershinin A.V., Levin V.A., Zingerman K.M. Some results of mesh convergence

47. estimation for the spectral element method of different orders in FIDESYS industrial package.

48. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 2016, 158(1), 012049.