Нелинейная математическая модель связи тензоров второго ранга для композитных материалов

Анализ процессов деформирования как давно известных, так и новых полимерных, композитных и синтетических материалов, используемых в строительных конструкций, деталях аппаратов, машин, а также энергетических установок позволил выявить их специфические свойства. Установлено, что многие подобные материалы имеют ортотропию
структуры с одновременным проявлением деформационной анизотропией или неоднородностью. Наведенная деформационная анизотропия или механическая неоднородность вызвана зависимостью жесткостных и прочностных характеристик от вида напряженного состояния. В предыдущих работах авторов показано, что традиционные модели деформирования подобных материалов и их математические представления, приводят к грубым ошибкам, явно проявляющимся при расчете различных конструкций. При этом тео-
рии деформирования композитных материалов с «усложненными свойствами», специально разработанные для них другими авторами в последние 40 лет, весьма противоречивы и обладают непреодолимыми недостатками. Авторами представленной работы ранее были разработаны нелинейные энергетические связи тензоров деформаций и напряжений, для определения констант которых рекомендован широкий набор экспериментов. Однако среди экспериментальных испытаний необходимо привлекать опыты по сложным напряженным состояниям, многие из которых в настоящее время практически нереализуемы.
Поэтому в 2021 году были постулирован квазилинейный потенциал деформаций, представленный в главных осях ортотропии материалов. Для этого варианта оказалось достаточным вычисления констант по данным простейших опытов. Несмотря на несомненные
преимущества данного потенциала, все же реальные нелинейные диаграммы аппроксимировались прямыми лучами по методу наименьших квадратов, а это при качественной адекватности приводило к количественным погрешностям. В связи с этим в представленной статье сделана попытка ухода от общих правил формулировки полной нелинейной потенциальной связи тензоров деформаций и напряжений. В этом направлении постулирована
нелинейная математическая модель связи двух тензоров второго ранга, объединяющая форму обобщенного закона Гука для ортотропного материала, теорию малых упругопластических деформаций и методику тензорного пространства нормированных напряжений.
Данный подход позволил определять нелинейные материальные функции, ограничившись набором традиционных простейших экспериментов. Сделано замечание о единственности решений краевых задач, которая сводится к проверке устойчивости уравнений состояния в малом по Друкеру. В рамках предложенной математической модели обработаны широко известные экспериментальные диаграммы для карбоно-графитового композита, для которого получены нелинейные материальные функции.

1. Schmueser, D.W. Nonlinear Stress-Strain and Strength Response of Axisymmetric Bimodulus

2. Composite Material Shells / D.W.Schmueser // AIAA Journal. – 1983. – Vol. 21. – №12. – рр.

3. – 1747.

4. Reddy, L.N. On the Behavior of Plates Laminated of Bimodulus Composite Materials /

5. L.N.Reddy, C.W.Bert // ZAMM. – 1982. – Vol. 62. – № 6. – рр. 213 – 219.

6. Jones, R.M. A Nonsymmetric Compliance Matrix Approach to Nonlinear Multimodulus

7. Ortotropic Materials / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. – № 10. – рр. 1436

8. – 1443.

9. Jones, R.M. Modeling Nonlinear Deformation of Carbon-Carbon Composite Material /

10. R.M.Jones // AIAA Journal. – 1980. – Vol. 18. - № 8. – рр. 995 – 1001.

11. Jones, R.M. Bucling of Stiffened Multilayered Circular Shells with Different Ortotropic Moduli

12. in Tension and Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1971. – Vol. 9. – № 5. – рр. 917

13. – 923.

14. Крегерс, А.Ф. Нелинейная ползучесть тканевого стеклопластика при некоторых видах

15. сложного напряженного состояния / А.Ф.Крегерс, Р.Д.Максимов, Р.П.Турциныш // Ме-

16. ханика полимеров. – 1973. – №2. – С. 212 – 218.

17. Амелина, Е.В. О нелинейном деформировании углепластиков: эксперимент, модель, расчет

18. / Е.В.Амелина [и др.] // ИВТ СО РАН: Вычислительные технологии. – 2015. – Т. 20. –

19. №5. – С. 27–52.

20. Каюмов, Р.А. Идентификация механических характеристик армированных волокнами

21. композитов / Р.А.Каюмов, С.А.Луканкин, В.Н.Паймушин, С.А.Холмогоров // Ученые

22. записки Казанского университета. Физико-математические науки. – 2015. – Т. 157. – кн.

23. – С. 112–132.

24. Shafigullin, L.N. Development of the recommendations on selection of glass-fiber reiforced

25. polyurethanes for vehicle parts / L.N.Shafigullin, A.A.Bobrishev, V.T.Erofeev, A.A.Treshchev,

26. A.N.Shafigullina // International Journal of Applied Engineering Research. – 2015. – Vol. 10.

27. – №23. – рр. 43758-43762.

28. Розе, А.В. Трехармированные тканые материалы / А.В.Розе, И.Г.Жигун, М.Н.Душин //

29. Механика полимеров. – 1970. – №3. – С. 471–476.

30. Jones, R.M., Theoretical-experimental correlation of material models for non-linear deformation

31. of graphite / R.M.Jones, D.A.R.Nelson // AIAA Journal. – 1976. – Vol. 14 – №10. – рр. 1427–

32.

33. Jones, R.M. Stress-Strain Relations for Materials with Different Moduli in Tension and

34. Compression / R.M.Jones // AIAA Journal. – 1977. – Vol. 15. – №1. – рр. 16–25.

35. Золочевский, А.А. Расчет анизотропных оболочек из разномодульных материалов при

36. неосесимметричном нагружении / А.А.Золочевский, В.Н.Кузнецов // Динамика и проч-

37. ность тяжелых машин. – Днепропетровск: ДГУ, 1989. – С. 84–92.

38. Трещев, А.А. Теория деформирования и прочности разносопротивляющихся материалов

39. / А.А. Трещев // Тула: ТулГУ, 2020. – 359 с.

40. Bazant, Z.P. Endochronic Theory of Inelasticity and Failure of Concrete / Z.P.Bazant, P.D.Bhat

41. // Journal of the Engineering Mechanics Division, ASCE. – 1976. – Vol. 102. – № EM4. – рр.

42. –722.

43. Kupfer, H.B. Das nicht-linear Verhalten des Betons bei Zweiachsinger Beanspruchung /

44. H.B.Kupfer // Beton und Stahlbetonbau. – 1973. – №11. – рр. 269–274.

45. Tasuji, M.E. Stress-Strain Response and Fracture of Concrete in Biaxial Loading / M.E.Tasuji,

46. F.O.Slate, A.H.Nilson // ACI Journal. – 1979. – №7. – рр. 806–812.

47. Леонов, М.Я. О механизме деформаций полухрупкого тела / М.Я.Леонов, К.Н.Русинко

48. // Пластичность и хрупкость. – Фрунзе: ИЛИМ, 1967. – С. 86–102.

49. Леонов, М.Я. Зависимости между деформациями и напряжениями для полухрупких тел

50. / М.Я.Леонов, В.А.Паняев, К.Н.Русинко // Инж. журн. МТТ. – 1967. – № 6. – С. 26 – 32.

51. Писаренко, Г.С. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном

52. состоянии / Г.С.Писаренко, А.А.Лебедев. – Киев: Наукова думка, 1976. – 416 с.

53. Елсуфьев, С.А. Исследование деформирования фторопласта-4 при линейном и плоском

54. напряженном состояниях / С.А.Елсуфьев // Механика полимеров. – 1968. – №4. – С. 742–

55.

56. Елсуфьев, С.А. Изучение деформирования фторопласта в условиях плоского напряжен-

57. ного состояния / С.А.Елсуфьев, В.М.Чебанов // Исслед. по упругости и пластичности. –

58. Л.: Изд-во ЛГУ, 1971. – Вып. 8. – С. 209–213.

59. Айнбиндер, С.Б. Влияние гидростатического давления на механические свойства поли-

60. мерных материалов / С.Б.Айнбиндер, М.Г.Лака, И.Ю.Майорс // Механика полимеров. –

61. – № 1. – С. 65 – 75.

62. Айнбиндер, С.Б. Свойства полимеров при высоких давлениях / С. Б. Айнбиндер,

63. К. И. Алксне, Э. Л. Тюпина, М. Г. Лака. – М.: Наука, 1973. – 118 с.

64. Деревянко, Н.И. Свойства армированного полистирола при кратковременном растяжении,

65. сжатии и изгибе / Н.И.Деревянко // Механика полимеров. – 1968. – №6. – С. 1059–1064.

66. Божанов, П.В. Определение прочностных критериев при возникновении пластических де-

67. формаций в поликарбонате / П.В.Божанов, А.АТрещев // Инновации и инвестиции. –

68. – №12. – С. 323-326.

69. Bert, C.W. Models for Fibrous Composite with Different Properties in Tension and Compression

70. / C.W.Bert // Transaction of the ASME. – 1977. – Vol. 99 H. – Ser. D. – No. 4. – рр. 344–349.

71. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред.

72. Ч. 1. Квазилинейные соотношения / Н.М.Матченко, Л.А.Толоконников, А.А.Трещев //

73. Изв. РАН. МТТ. – 1995. – №1. – С. 73–78.

74. Матченко, Н.М. Определяющие соотношения изотропных разносопротивляющихся сред.

75. Ч. 2. Нелинейные соотношения / Н.М.Матченко, Л.А.Толоконников, А.А.Трещев // Изв.

76. РАН. МТТ. – 1999. – №4. – С. 87–95.

77. Treshchev, A.A. Constitutive relations for isotropic materials allowing quasilinear approximation

78. of the deformation law / A.A.Treschev, A.A.Bobrishev, L.N.Shafigullin // IOP Conference

79. Series: Materials Science and Engineering. Vol. 481 (2019) UNSP012014. - Doi: 10.1088/ 1757-

80. X/481/1/ 012014. – рр. 1 – 7.

81. Амбарцумян, С.А. Основные уравнения и соотношения разномодульной теории упругости

82. анизотропного тела / С.А.Амбарцумян // Изв. АН СССР. МТТ. – 1969. – №3. – С. 51–61.

83. Ломакин, Е.В. Соотношения теории упругости для анизотропного тела, деформационные

84. характеристики которых зависят от вида напряженного состояния / Е.В.Ломакин // Изв.

85. АН СССР. МТТ. – 1983. – №3. – С. 63–69.

86. Трещев, А.А. Потенциальная зависимость между деформациями и напряжениями для

87. ортотропных физически нелинейных материалов / А.А.Трещев // Фундаментальные и

88. прикладные проблемы техники и технологии. – 2017. – № 4-1 (324). – С. 71 – 74.

89. Трещев, А.А. Вариант модели деформирования ортотропных композитных материалов

90. / А.А.Трещев, Ю.А.Завьялова, М.А.Лапшина // Эксперт: Теория и практика (Научно-

91. практический журнал). – Тольятти: АНО «Институт судебной строительно-технической

92. экспертизы» – 2020. – №3 (6). – С. 62 – 68. DOI 10.24411/2686-7818-2020-10027.

93. Грин, А. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды / А.Грин,

94. Дж.Адкинс. – М.: Мир, 1965. – 456 с.

95. Каудерер, Г. Нелинейная механика / Г.Каудерер. – М.: Изд-во иностр. лит., 1961. – 779 с.

96. Трещев, А.А. Математические определяющие уравнения деформирования материалов

97. с двойной анизотропией / А.А.Трещев, Ю.А.Завьялова, М.А.Лапшина, А.Е.Гвоздев,

98. О.В.Кузовлева, Е.С.Крупицын // Чебышевский сборник. – 2021. – Т. 22. – №4 (80). –

99. С. 369 – 383.

100. Турсунов, Б.С. О свойствах потенциала напряжений упругих тел / Б.С.Турсунов // ПММ.

101. – 1970. – Т. 34. – Вып. 1. – С. 15–22.