Рекуррентные числовые последовательности: теория и приложения

Теория рекуррентных соотношений являются важной составной частью современной математической науки. Множество числовых последовательностей имеют рекуррентную природу. Часто они естественным образом связаны с теорией чисел (числа Фибоначчи, фигурные числа, числа Мерсенна и Ферма, дружественные числа и др.) или имеют комбинаторные “корни” (элементы треугольника Паскаля, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана и др.). Применяемые для исследования рекуррентных последовательностей производящие функции подробно изучаются в математическом анализе, предоставляя широкий спектр практико-ориентированных примеров использования классических аналитических построений. Рекурсивные функции играют важную роль в теории алгоритмов.
Приложения теории рекуррентных соотношений крайне востребованы в криптографии (генерация псевдослучайных последовательностей над конечными полями), цифровой об-
работке сигналов (моделирование обратной связи в системе, где выходные данные одновременно становятся входными для будущего времени), экономике (модели различных секторов экономики – финансового, товарного и др., в которых текущие значения ключевых переменных (процентная ставка, реальный ВВП и т.д.) анализируются с точки зрения прошлых и текущих значений других переменных), биологии (например, модели динамики роста той или иной популяции; вспомним числа Фибоначчи) и др.
Мы рассматриваем несколько аспектов указанной тематики, в том числе:
- историю вопроса, место числовых рекуррентных последовательностей в развитии математической науки и математического образования;
- примеры использования рекуррентного подхода при построении различных классов (и подклассов) специальных чисел (фигурных чисел, дружественных чисел и др.);
- теоретические аспекты использования последовательностей больших периодов над конечными полями в радиолокации и методы генерации псевдослучайных последовательностей для обеспечения криптографической защиты информации, передаваемой на большие расстояния.
В частности, в работе представлена рекуррентная схема построения так называемых центрированных 𝑘-пирамидальных чисел 𝐶𝑆3𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., которые представляют собой конфигурации точек, образующих 𝑘-угольную пирамиду, в основании которой лежит центрированное 𝑘-угольное число 𝐶𝑆𝑘(𝑛).
Исходя из определения, мы получаем для последовательности 𝐶𝑆3
𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., рекуррентную формулу 𝐶𝑆3𝑘(𝑛 + 1) = 𝐶𝑆3
𝑘(𝑛) + 𝐶𝑆𝑘(𝑛 + 1), 𝐶𝑆3𝑘(1) = 1. Учитывая, что 𝐶𝑆𝑘(𝑛 + 1) = (𝑘𝑛^2+𝑘𝑛+2)/2, и пользуясь стандартными подходами, мы доказываем,
что производящая функция 𝑓(𝑥) последовательности 𝐶𝑆3
𝑘(𝑛), 𝑛 = 1, 2, 3, . . ., имеет вид 𝑓(𝑥) = 𝑥(1+(𝑘−2)𝑥+𝑥2)/(1−𝑥)2 , |𝑥| < 1, в то время как явная формула для 𝐶𝑆3𝑘(𝑛) имеет вид𝐶𝑆3𝑘(𝑛) = 𝑘𝑛3+𝑛(6−𝑘)/6 .

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: РиполКлассик, 2013.

2. Григорян Н.Е., Лопатухина Т.А. Феномен рекуррентности как системообразующий пре-

3. цедентный признак образовательного дискурса // Актуальные исследования. 2019. № 3

4. (3).

5. Деза Е.И. Специальные числа натурального ряда. – М.: URSS, 2010.

6. Deza E.I., Deza M.M. Figurate numbers. – World Scientific Publishing Company, 2012.

7. Деза Е.И., Деза М.М. Фигурные числа. – М.: МЦНМО, 2016.

8. Deza E.I. Mersenne and Fermat Numbers. – World Scientific Publishing Company, 2021.

9. Деза Е.И., Котова Л.В. Введение в криптографию. – М.: URSS, 2018.

10. Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики. – М.: URSS, 2010.

11. Нечаев В.И. Основы защиты информации. – М.: МГУ, 1999.

12. Sloane N.J.A., Plouffe S. The Encyclopedia of Integer Sequences. – San Diego: Academic Press,

13.

14. Yan S.Y. Perfect, Amicable and Sociable Numbers. A Computational Approach. – World Scientific,

15.