Решение задачи Дельсарта для 4-дизайнов на сфере S^2

Важной проблемой дискретной геометрии и вычислительной математики является оценка минимального числа узлов 𝑁(𝑠) квадратурной формулы (взвешенного 𝑠-дизайна)
вида 1 |S2| ∫︀ S2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = Σ︀𝑁 𝜈=1 𝜆𝜈𝑓(𝑥𝜈) с положительными весами, точной для всех сферических полиномов степени не выше 𝑠. P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977) для оценки
снизу 𝑁(𝑠) сформулировали экстремальную задачу 𝐴𝑠 для неотрицательных на [−1, 1] разложений по ортогональным полиномам Гегенбауэра (Лежандра для S2) с ограничениями
на знак коэффициентов Фурье–Гегенбауэра. С помощью варианта данной задачи 𝐴𝑠,𝑛 на полиномах степени 𝑛 = 𝑠, они доказали классическую оценку плотных дизайнов. Эта оцен-
ка точная и дает решение 𝐴𝑠 только в исключительных случаях (𝑠 = 0, 1, 2, 3, 5 для S2).
Для общих размерностей известны случаи, когда 𝐴𝑠,𝑛 > 𝐴𝑠,𝑠 при 𝑛 > 𝑠, что приводит к лучшим оценкам 𝑁(𝑠). В частности, Н.Н. Андреев (2000) таким способом доказал минимальность 11-дизайна на сфере S3. Родственные задачи Дельсарта также сформулированы для оценки мощности сферических кодов. В этом направлении В.В. Арестов и А.Г. Бабенко (1997), базируясь на методах бесконечномерного линейного программирования, решили аналог задачи 𝐴𝑠 для случая сферических 0.5-кодов на сфере S3 (проблема контактного
числа). Затем этот метод получил развитие в работах Д.В. Штрома, Н.А. Куклина. А.В. Бондаренко и Д.В. Горбачев (2012) показали, что 𝑁(4) = 10. Данный факт вытекает из оценки 𝐴4,7 > 9, ранее полученной P. Boyvalenkov и S. Nikova (1998), и существования взвешенных 4-дизайнов из 10 узлов. Тем не менее, представляет интерес решить задачу 𝐴4 точно, нацеливаясь перенести методику вычисления 𝐴𝑠 на общие размерности и порядки дизайнов. В данной работе доказывается, что 𝐴4 = 𝐴4,22 = 9.31033 . . .
Для этого адаптируется метод Арестова–Бабенко–Куклина и проблема сводится к построению специальной квадратурной формулы на [−1, 1], согласованной с видом предполагаемой экстремальной функции (полиномом). Предлагаемый метод базируется на применении нелинейного программирования, в частности, полуопределенного программирования, и ре-
шении полиномиальной системы уравнений, возникающей из квадратурной формулы. Для доказательства существования аналитического решения такой системы в окрестности численного решения применяется интервальный метод Кравчука из HomotopyContinuation.jl.

1. Андреев Н.Н. Минимальный дизайн 11-го порядка на трехмерной сфере // Матем. заметки. 2000. Том 67, № 4. С. 489–497.

2. Арестов В.В., Бабенко А.Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды МИАН. 1997. Том 219. С. 44–73.

3. Бондаренко А.В., Горбачев Д.В. Минимальные взвешенные 4-дизайны на сфере 𝑆2 // Матем. заметки. 2012. Том 91, № 5. С. 787–790.

4. Горбачев Д.В. Нижние асимптотические оценки мощности дизайнов на сфере 𝑆2 и шаре 𝐵2 // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 11–25.

5. Горбачев Д.В., Свистунов С.С. Моделирование интерактивного освещения в 3D-графике и сферические дизайны. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014.

6. Куклин Н.А. Аналитические методы в экстремальных геометрических задачах на евклидовой сфере. Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург, ИММ Уро РАН, 2014.

7. Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра // Чебышевский сборник. 2020. Том 21, № 1. С. 247–258.

8. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М.: Наука, 1981.

9. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматлит, 1962.

10. Штром Д.В. Метод Дельсарта в задаче о контактных числах евклидовых пространств больших размерностей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2002. Том 8, № 2.

11. С. 162–189.

12. Юдин В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Том 61, № 3. С. 213–223.

13. Bondarenko A., Radchenko D., Viazovska M. Optimal asymptotic bounds for spherical designs // Ann. Math. 2013. Vol. 178, no. 2. P. 443–452.

14. Boyvalenkov P., Nikova S. Improvements of the lower bounds on the size of some spherical designs // Mathematica Balkanica. 1998. Vol. 12. P. 151–160.

15. Breiding P., Rose K., Timme S. Certifying zeros of polynomial systems using interval arithmetic // arXiv:2011.05000. 2020.

16. Delsarte P., Goethals J.M., Seidel J.J. Spherical codes and design // Geom. Dedicata. 1977. Vol. 6, no. 3. P. 363–388.

17. Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs // In Handbook of Coding Theory, V.S. Pless and W.C. Huffman Eds. Amsterdam: Elsevier, 1998.

18. Odlyzko A.M., Sloane N.J.A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in 𝑛 dimensions // J. Combin. Theory Ser. A. 1979. Vol. 26, no. 2. P. 210–214.