Решение задачи Дельсарта для 4-дизайнов на сфере S^2

Аннотация

Важной проблемой дискретной геометрии и вычислительной математики является оценка минимального числа узлов 𝑁(𝑠) квадратурной формулы (взвешенного 𝑠-дизайна)
вида 1 |S2| ∫︀ S2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = Σ︀𝑁 𝜈=1 𝜆𝜈𝑓(𝑥𝜈) с положительными весами, точной для всех сферических полиномов степени не выше 𝑠. P. Delsarte, J.M. Goethals и J.J. Seidel (1977) для оценки
снизу 𝑁(𝑠) сформулировали экстремальную задачу 𝐴𝑠 для неотрицательных на [−1, 1] разложений по ортогональным полиномам Гегенбауэра (Лежандра для S2) с ограничениями
на знак коэффициентов Фурье–Гегенбауэра. С помощью варианта данной задачи 𝐴𝑠,𝑛 на полиномах степени 𝑛 = 𝑠, они доказали классическую оценку плотных дизайнов. Эта оцен-
ка точная и дает решение 𝐴𝑠 только в исключительных случаях (𝑠 = 0, 1, 2, 3, 5 для S2).
Для общих размерностей известны случаи, когда 𝐴𝑠,𝑛 > 𝐴𝑠,𝑠 при 𝑛 > 𝑠, что приводит к лучшим оценкам 𝑁(𝑠). В частности, Н.Н. Андреев (2000) таким способом доказал минимальность 11-дизайна на сфере S3. Родственные задачи Дельсарта также сформулированы для оценки мощности сферических кодов. В этом направлении В.В. Арестов и А.Г. Бабенко (1997), базируясь на методах бесконечномерного линейного программирования, решили аналог задачи 𝐴𝑠 для случая сферических 0.5-кодов на сфере S3 (проблема контактного
числа). Затем этот метод получил развитие в работах Д.В. Штрома, Н.А. Куклина. А.В. Бондаренко и Д.В. Горбачев (2012) показали, что 𝑁(4) = 10. Данный факт вытекает из оценки 𝐴4,7 > 9, ранее полученной P. Boyvalenkov и S. Nikova (1998), и существования взвешенных 4-дизайнов из 10 узлов. Тем не менее, представляет интерес решить задачу 𝐴4 точно, нацеливаясь перенести методику вычисления 𝐴𝑠 на общие размерности и порядки дизайнов. В данной работе доказывается, что 𝐴4 = 𝐴4,22 = 9.31033 . . .
Для этого адаптируется метод Арестова–Бабенко–Куклина и проблема сводится к построению специальной квадратурной формулы на [−1, 1], согласованной с видом предполагаемой экстремальной функции (полиномом). Предлагаемый метод базируется на применении нелинейного программирования, в частности, полуопределенного программирования, и ре-
шении полиномиальной системы уравнений, возникающей из квадратурной формулы. Для доказательства существования аналитического решения такой системы в окрестности численного решения применяется интервальный метод Кравчука из HomotopyContinuation.jl.