кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (𝛽−1, 𝛽−2), где 𝛽 – действительный корень уравнения 𝛽3 = 𝛽2 + 𝛽 + 1, и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози и нашло многочисленные применения в комбинаторике слов, геометрии, теории динамических систем и теории чисел.Позднее была введена бесконечная последовательность разбиений 𝑑 − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени 𝑑, на фрактальные множества 𝑑 типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Эти разбиения оказались тесно связанными с некоторыми иррациональными сдвигами тора и позволили построить новые примеры множеств ограниченногоостатка для этих сдвигов, а также получить результаты о самоподобии орбит сдвигов.В настоящей работе продолжается изучение обобщенных разбиений Рози, связанных с числами Пизо. Предложен новый подход к определению фракталов и разбиений Рози на основе разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.Это позволило улучшить результаты о связи разбиений Рози и множеств ограниченного остатка, показав, что соответствующая оценка остаточного члена не зависит от номера разбиения.Доказана теорема геометризации, показывающая, что натуральное число имеет заданное окончание жадного разложения по линейной рекуррентной последовательности тогда и только тогда, когда соответствующая точка орбиты сдвига тора попадает в некоторое множество, являющееся объединением тайлов разбиения Рози. Получен ряд теоретико-числовых приложений этого результата.В заключении сформулирован ряд открытых проблем, связанных с обобщенными разбиениями Рози.
Rauzy introduced a fractal set associated with the two-dimensional toric shift by the vector (𝛽−1, 𝛽−2), where 𝛽 is the real root of the equation 𝛽3 = 𝛽2 + 𝛽 + 1 and showed that thisfractal is divided into three fractals that are bounded remainder sets with respect to a given toric shift. The introduced set was named as Rauzy fractal. It obtains many applications in thecombinatorics of words, geometry, theory of dynamical systems and number theory. Later, an infinite sequence of tilings of 𝑑 − 1-dimensional Rauzy fractals associated with algebraic Pisot units of the degree 𝑑 into fractal sets of 𝑑 types were introduced. Each subsequent tiling is a subdivision of the previous one. These tilings are closely related to some irrational toric shifts and allowed to obtain new examples of bounded remainder sets for these shifts, and also to get some results on self-similarity of shift orbits.In this paper, we continue the study of generalized Rauzy tilings related to Pisot numbers. A new approach to definition of Rauzy fractals and Rauzy tilings based on expansions of naturalnumbers on linear recurrence sequences is proposed. This allows to improve the results on the connection of Rauzy tilings and bounded remainder sets and to show that the correspondingestimate of the remainder term is independent on the tiling order. The geometrization theorem for linear recurrence sequences is proved. It states that the natural number has a given endpoint of the greedy expansion on the linear recurrence sequence if and only if the corresponding point of the orbit of toric shift belongs to some set, which is the union of the tiles of the Rauzy tiling. Some number-theoretic applications of this result is obtained.In conclusion, some open problems related to generalized Rauzy tilings are formulated.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.