доктор физико-математических наук
doctor of physical and mathematical sciences
В статье исследуется бесконечная линейная независимость полиадических чисел
$$𝑓0(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛$$,
где 𝜆 представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается (𝛾)𝑛 , по определению, (𝛾)0 = 1 , а при 𝑛 ≥ 1 имеем (𝛾)𝑛 = 𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле Q𝑝 . Результат является непосредственным продолжением проведенного автором исследования арифметических свойств полиадических чисел
$$𝑓0(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛, 𝑓1(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛$$,
Значения обобщенных гипергеометрических рядов являются объектом исследования многочисленных работ. Если параметры рядов представляют собой рациональные числа, то такие ряды входят либо в класс 𝐸− функций( если эти ряды - целые функции), либо в класс 𝐺− функций (если они имеют конечный ненулевой радиус сходимости),либо в класс𝐹− рядов ( в случае нулевого радиуса сходимости в поле комплексных чисел, однако при этом они сходятся в полях 𝑝− адических чисел). Во всех перечисленных случаях применимметод Зигеля-Шидловского и его обобщения. Если среди параметров рядов содержатся алгебраические иррациональные числа, то исследование их арифметических свойств ведется на основе приближений Эрмита-Паде.В рассматриваемом случае параметр - трансцендентное число. Следует отметить, что ранее А.И. Галочкин доказал алгебраическую независимость значений 𝐸−функций в точ-ке, представляющей собой действительное число Лиувилля. Упомянем также поданные в печать работы Е.Ю. Юденковой о значениях 𝐹−рядов в полиадических лиувиллевыхточках. Особенно отметим, что в этой работе рассматриваются значения в полиадическойтрансцендентной точке гипергеометрических рядов, параметр которых - полиадическое трансцендентное (лиувиллево) число.
We study infinite linear independence of polyadic numbers
$$𝑓0(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛𝜆𝑛, 𝑓1(𝜆) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛𝜆𝑛$$,
where 𝜆 is a certain polyadic Liouville number. The series considered converge in any fieldQ𝑝 . Here (𝛾)𝑛 denotes Pochhammer symbol, i.e. (𝛾)0 = 1 , and for 𝑛 ≥ 1 we have(𝛾)𝑛 =𝛾(𝛾 + 1)...(𝛾 + 𝑛 − 1). The result extends the previous author’s result on the polyadic numbers
$$𝑓0(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆)𝑛, 𝑓1(1) =∞Σ︁𝑛=0(𝜆 + 1)𝑛$$,
The values of generalized hypergeometric series are the subject of numerous studies. If the parameters of the series are rational numbers, then they come either in the class of 𝐸 (if theseseries are entire functions) or the class of 𝐺 functions (if they have a finite non-zero radius of convergence) or to the class of 𝐹− series ( in the case of zero radius of convergence in thefield of complex numbers, however, they converge in the fields of 𝑝− adic numbers). In all these cases, the Siegel-Shidlovsky method and its generalizations are applicable. If the parameters of the series contain algebraic irrational numbers, then the study of their arithmetic properties is based on the Hermite-Pade approximations.In this case, the parameter is a transcendental number. It should be noted that earlier A. I.Galochkin proved the algebraic independence of the values of 𝐸−functions at a point that is a real Liouville number. We also mention the published works of E. Yu. Yudenkova on the valuesof 𝐹− series in polyadic Liouville points. We especially note that in this paper we consider the values in the polyadic transcendental point of hypergeometric series, the parameter of which is the polyadic transcendental (Liouville) number.Note that earlier A.I. Galochkin proved the algebraic independence of values of 𝐸−functions at points which are real Liouville numbers.We also mention submitted papers (E.Yu.Yudenkova) about the arithmetic properties of values of 𝐹−series at polyadic Liouville numbers. It should be specially mentioned that here we study the values of hypergeometric series with a parameter which is a polyadic Liouville number.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.