chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-288-303cheb-996Research ArticleСтатьиArticleОб одном линейном диофантовом уравнении и его приложенияхOn a linear Diophantine equation and its applicationsФотАндрей ПетровичFotAndrey Petrovich

доктор технических наук

doctor of technical sciences

fot@mail.osu.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрина ЮрьевнаRebrovaIrina Yuryevna

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

dobrovol@tsput.ruПодолянАлёна СергеевнаPodolyanAlyona Sergeevna

магистрант

undergraduate

alena.balabaeva.93@mail.ruОренбургский государственный университетРоссияOrenburg State UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State Lev Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202101062021222288303Copyright © Фот А.П., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., Подолян А.С., 20212021Фот А.П., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., Подолян А.С.Fot A.P., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M., Podolyan A.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/996

В работе рассмотрено линейное диофантово уравнение с шестью переменными. Построено его решение как сдвинутая неполная пятимерная целочисленная решётка в шестимерном пространстве. Построен базис этой решётки.Дано алгоритмическое решение нахождения всех его решений из заданного шестимерного целочисленного параллелепипеда. Для этого был построен новый базис этой неполной пятимерной решётки, который позволил написать эффективную программу нахождения всех наборов, удовлетворяющих данному диофантову уравнению и принадлежащих заданному прямоугольному параллелепипеду.В результате работы предложенного алгоритма, реализованного в системе Mathcad, было показано, что из общего количества 10182290760 целых точек, лежащих в заданном параллелепипеде, только 7822045 удовлетворяют заданному диофантову уравнению.Таким образом, полный перебор был сокращён в 1301,7 раза.В статье рассмотрена связь сдвинутых решёток и задачи целочисленного программирования. Показано, как можно строить базисы неполных целочисленных решёток, которыепозволяют сокращать полный перебор по точкам s-мерного прямоугольного параллелепипеда на перебор по точкам сдвинутой неполной решётки, лежащим в этом параллелепипеде.Рассмотрены некоторые приложения этого диофантова уравнения в технических вопросах, связанных с решением одной прикладной задачи машиностроения в области проектирования мерительного инструмента, в частности, наборов концевых мер длины.В статье отражён итерационный характер уточнения математической модели указанной прикладной задачи. После первой корректировки модели количество наборов уменьшилось ещё в 193,237 раза, а после второй корректировки модели общее сокращение наборов пригодных для последующей оптимизации стало в 581114,6 раза. В заключении указаны направления дальнейших исследований и возможное применение идей нейросетей Хопфилда и машинного обучения для реализации отбора оптимальных решений.

The paper considers a linear Diophantine equation with six variables. Its solution is constructed as a shifted incomplete five-dimensional integer lattice in a six-dimensional space.The basis of this lattice is constructed.An algorithmic solution for finding all its solutions from a given six-dimensional integer parallelepiped is given. For this purpose, a new basis for this incomplete five-dimensional lattice was constructed, which allowed us to write an effective program for finding all sets that satisfy a given Diophantine equation and belong to a given rectangular parallelepiped.As a result of the proposed algorithm implemented in the Mathcad system, it was shown that out of the total number of 10182290760 integer points lying in a given parallelepiped, only7822045 satisfy the given Diophantine equation. Thus, the total search was reduced by 1301.7 times.The article considers the relationship between shifted lattices and integer programming problems. It is shown how it is possible to construct bases of incomplete integer lattices, which make it possible to reduce a complete search over the points of an s-dimensional rectangular parallelepiped to a search over the points of a shifted incomplete lattice lying in this parallelepiped.Some applications of this Diophantine equation in technical issues related to the solution of an applied mechanical engineering problem in the field of measuring tool design, in particular, sets of end length measures, are considered.The article reflects the iterative nature of the refinement of the mathematical model of this applied problem. After the first model adjustment, the number of sets decreased by another193.237 times, and after the second model adjustment, the total reduction of sets suitable for subsequent optimization became 581114.6 times.In conclusion, the directions of further research and possible application of the ideas of Hopfield neural networks and machine learning for the implementation of the selection of optimalsolutions are indicated.

неполные целочисленные решёткилинейные диофантовы уравнениямерительный инструментнабор плоскопараллельных концевых мер длиныincomplete integer latticeslinear diophantine equationsmeasuring toola set of plane-parallel end-length measuresРабота выполнена по гранту РФФИ № 19-41-710004_р_аReferencesБоревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.Borevich Z. I., Shafarevich I. R., 1985, "Number Theory." Moscow: Nauka.Виноградов И. М. Основы теории чисел М.: Наука 1982Vinogradov I. M., 1982, "Fundamentals of Number Theory." Moscow: Nauka.ГОСТ 9038-90. Меры длины концевые плоскопараллельные. Технические условия (с Изменением N 1). УТВЕРЖДЕН И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Государственного комитета СССР по управлению качеством продукции и стандартам от 25.01.90 №86.GOST 9038-90. Length measures are plane-parallel end measures. Technical specifications (with Change N 1). APPROVED AND PUT INTO EFFECT BY the Resolution of the State Committee of the USSR on Product Quality Management and Standards of 25.01.90 No. 86.Касселс Дж. В. С. Введение в геометрию чисел. — М.: Мир, 1965. — 420 с.Kassels, D. 1965, Vvedenie v geometriyu chisel, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia. 420 p.Г.Г. Малинецкий. Математические основы синергетики. Москва, URSS, 2009.G. G. Malinetsky, 2009, "Mathematical foundations of synergetics." Moscow, URSS.А. А. Муллабаев, А. П. Фот. Оптимизация наборов концевых мер и щупов // ВЕСТНИК ОГУ, 2005. — No 4. — С.152-153.A. A. Mullabaev, A. P. Fot., 2005, "Optimization of sets of end measures and probes" VESTNIK OSU, . — No 4. — p. 152–153.Св.-во гос. рег. прогр. для ЭВМ № 2016611967. Российская Федерация. Программа «Расчет набора концевых мер и его характеристик по универсальной функции и относительной металлоемкости» / А.П.Фот (RU), Р.М.Джалмухамедов (RU); правообладатель – федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет».– № 2015663252; дата поступления 28.12.2015 г.; дата регистр. в Реестре программ для ЭВМ 15.02.2016 г. – Опубл.20.03.2016 г.St.-vo state reg. program for computer No. 2016611967. Russian Federation. Program "Calculation of a set of end measures and its characteristics according to the universal function and relative metal capacity"/ A. P. Fot( RU), R. M. Dzhalmukhamedov( RU); copyright holder – Federal State Budgetary Educational Institution of Higher Professional Education "Orenburg State University".- No. 2015663252; date of receipt 28.12.2015; date of registration. in the Register of Computer Programs 15.02.2016-Publ. 20.03.2016.Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.Sobolev S. L., 1974, "Introduction to the theory of cubature formulas." Moscow: Nauka, .Патент RU №2629686 С1 МПК G01B5/02 (2006.01). Универсальный набор концевых мер /М. Ю. Тарова (РФ), А. П. Фот (РФ); Акционерное общество "Военно-промышленная корпорация "Научно-производственное объединение машиностроения" (RU) — № 2016107665Patent RU No. 2629686 C1 IPC G01B5 / 02 (2006.01). Universal set of end measures / M. Yu. Tarova (RF), A. P. Fot (RF); Joint Stock Company "Military-Industrial Corporation "Scientific and Production Association of Mechanical Engineering" (RU) - - - No. 2016107665 - - - Declared— Заявлено 02.03.2016 — Решение о выдаче патента от 14.07.2017 — Опубл. 31.08.2017, Бюл. № 2.03.2016 - - - Decision to grant a patent dated 14.07.2017 - - - Publ. 31.08.2017, Byul. No. 2.Хинчин А. Я. Цепные дроби.– Харьков. 1956.Khinchin A. Ya., 1956, "Chain fractions." — Kharkiv.Фот, А. П. Об использовании математического моделирования в некоторых задачах машиностроения / А. А. Муллабаев, А. П. Фот, С. И. Павлов // Вестник ОГУ, 2006. — №2. — С. 75–82.Fot, A. P., 2006, "On the use of mathematical modeling in some problems of mechanical engineering" / A. A. Mullabaev, A. P. Fot, S. I. Pavlov / / Vestnik OSU, . — №2. — P. 75–82.B.V.Kryzhanovsky, L.B.Litinskii, A.L.Mikaelian. «Vector-neuron models of associative memory», Proc. of Int. Joint Conference on Neural Networks IJCNN-04, Budapest-2004, pp.B.V.Kryzhanovsky, L.B.Litinskii, A.L.Mikaelian. «Vector-neuron models of associative memory», Proc. of Int. Joint Conference on Neural Networks IJCNN-04, Budapest-2004, pp.–1004.–1004.B.V.Kryzhanovsky, B.M.Magomedov, A.L.Mikaelian. «A Domain model of neural network», Doklady Mathematics vol.71, pp. 310–314 (2005).B.V.Kryzhanovsky, B.M.Magomedov, A.L.Mikaelian. «A Domain model of neural network», Doklady Mathematics vol.71, pp. 310–314 (2005).TESA Technology:TESA Technology:https://technobearing.ru/d/877366/d/tesa2014-2015-compressed-206-221.pdfhttps://technobearing.ru/d/877366/d/tesa2014-2015-compressed-206-221.pdfMitutoyo Corporation:Mitutoyo Corporation:https://www.mitutoyo.co.jp/eng/products/gaugeblock/gaugeblock.htmlhttps://www.mitutoyo.co.jp/eng/products/gaugeblock/gaugeblock.html

The authors declare that there are no conflicts of interest present.