кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В работе вводится понятие рисовского замыкания для подалгебр универсальных алгебр. Обозначим через △𝐴 отношение равенства на 𝐴. Подалгебра 𝐵 алгебры 𝐴 называ-ется подалгеброй Риса, если бинарное отношение 𝐵2 ∪ △𝐴 есть конгруэнция алгебры 𝐴.Конгруэнция 𝜃 алгебры 𝐴 называется конгруэнцией Риса, если 𝜃 = 𝐵2∪△𝐴 для некоторой подалгебры 𝐵 алгебры 𝐴. Мы определяем оператор рисовского замыкания, ставя в соответствие произвольной подалгебре 𝐵 алгебры 𝐴 наименьшую по включению подалгебру Риса алгебры 𝐴, содержащую 𝐵. Показано, что в общем случае рисовское замыкание не коммутирует с операцией решеточного пересечения на решетке подалгебр универсальнойалгебры. Как следствие, решетка подалгебр Риса в общем случае не является подрешеткой решетки подалгебр.Неодноэлементная универсальная алгебра называется рисовски простой, если любая ее конгруэнция Риса является тривиальной. В работе дается характеризация рисовскипростых алгебр в терминах рисовского замыкания.Алгеброй с операторами называется универсальная алгебра с дополнительной системой операторов, то есть, унарных операций, действующих как эндоморфизмы относительно основных операций. Получено полное описание рисовски простых алгебр в некоторых подклассах класса алгебр с одним оператором и тернарной основной операцией. Для алгебр из этих классов описано строение решеток подалгебр Риса. Получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы решетка подалгебр Риса алгебр из данных классов являлась цепью.
In this paper we introduce the concept of Rees closure for subalgebras of universal algebras.We denote by △𝐴 the identity relation on 𝐴. A subalgebra 𝐵 of algebra 𝐴 is called a Rees subalgebra whenever 𝐵2 ∪ △𝐴 is a congruence on 𝐴. A congruence 𝜃 of algebra 𝐴 is called aRees congruence if 𝜃 = 𝐵2 ∪△𝐴 for some subalgebra 𝐵 of 𝐴. We define a Rees closure operator by mapping arbitrary subalgebra 𝐵 of algebra 𝐴 into the smallest Rees subalgebra that contains𝐵. It is shown that in the general case the Rees closure does not commute with the operation ∧ on the lattice of subalgebras of universal algebra. Consequently, in the general case, a latticeof Rees subalgebras is not a sublattice of lattice of subalgebras.A non-one-element universal algebra 𝐴 is called a Rees simple algebra if any Rees congruence on 𝐴 is trivial. We characterize Rees simple algebras in terms of Rees closure.Universal algebra is called an algebra with operators if it has an additional set of unary operations acting as endomorphisms with respect to basic operations. We described Rees simple algebras in some subclasses of the class of algebras with one operator and a ternary basic operation. For algebras from these classes, the structure of lattice of Rees subalgebras is described. Necessary and sufficient conditions for the lattice of Rees subalgebras of algebras from these classes to be a chain are obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.