кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В статье изучаются атомы решеток конгруэнций и подпрямая неразложимость алгебр с одним оператором и основной операцией меньшинства, определенной специальным образом и называемой симметрической. Операцией меньшинства называется тернарная операция 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧), удовлетворяющая тождествам 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥. Алгебра подпрямо неразложима, если она имеет наименьшую ненулевую конгруэнцию. Алгеброй соператорами называется универсальная алгебра, сигнатура которой состоит из двух непустых непересекающихся частей: основной, которая может содержать произвольные операции, и дополнительной, состоящей из операторов. Операторами называются унарные операции, действующие как эндоморфизмы относительно основных операций, то есть перестановочные с основными операциями. Решетка с нулем называется атомной, если любой ее элемент содержит некоторый атом. Решетка с нулем называется точечной (atomistic), если любой ее ненулевой элемент представляется как решеточное объединение некоторого множества атомов.Показано, что решетка конгруэнций алгебр с одним оператором и основной симметрической операцией является атомной. Описано строение атомов в решетках конгруэнций алгебр данного класса. Получено полное описание подпрямо неразложимых алгебр в данном классе, а также алгебр, имеющих точечную решетку конгруэнций
In that paper we study atoms of congruence lattices and subdirectly irreducibility of algebras with one operator and the main symmetric operation. A ternary operation 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑧) satisfying identities 𝑑(𝑥, 𝑦, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑦, 𝑥) = 𝑑(𝑦, 𝑥, 𝑦) = 𝑥 is called a minority operation. The symmetric operation is a minority operation defined by specific way. An algebra 𝐴 is called subdirectly irreducible if 𝐴 has the smallest nonzero congruence. An algebra with operators is an universal algebra whose signature consists of two nonempty non-intersectional parts: the main one which can contain arbitrary operations, and the additional one consisting of operators. The operators are unary operations that act as endomorphisms with respect to the main operations, i.e., one that permutable with main operations. A lattice 𝐿 with zero is called atomic if any element of 𝐿 contains some atom. A lattice 𝐿 with zero is called atomistic if any nonzero element of 𝐿 is a join of some atom set.It shown that congruence lattices of algebras with one operator and main symmetric operation are atomic. The structure of atoms in the congruence lattices of algebras in given class is described. The full describe of subdirectly irreducible algebras and of algebras with an atomistic congruence lattice in given class is obtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.