Брунн в 1887 году сформулировал теорему о трёх параллельных сечениях выпуклого тела с одинаковыми по площади крайними сечениями, но не получающимися друг из друга параллельным сдвигом, утверждающую, что площадь среднего сечения строго больше, а корректно доказал, как заметил Минковский, что только не меньше. Исключение равенства, считавшегося до сих пор наиболее трудным в теореме, доказывается вплоть до настоящего времени многими авторами, привлекая серьёзную математику. В статье предлагается принципиально иной геометрический подход к доказательству теоремы, благодаря чему для корректного завершения исходного доказательства Брунна можно ограничиться элементарными средствами, доступными школьникам, минуя трудности с равенством, причём предлагаемые рассуждения распространяются на все размерности, как и сама теорема, на что указывал Брунн. Пусть, в общем случае, 𝑉𝑛(𝑄) – 𝑛-мерный объём тела 𝑄 ⊂ R𝑛, 𝐿0, 𝐿1 – параллельные гиперплоскости в R𝑛+1, содержащие соответственно выпуклые тела 𝑃0, 𝑃1, а 𝐿 – паралельная им гиперплоскость, находящаяся строго между ними, и 𝑃 – пересечение 𝐿 с выпуклой оболочкой объединения 𝑃0 ∪𝑃1. Теорема Брунна утверждает, что если 𝑃1 не получается из 𝑃0 параллельным переносом и 𝑉𝑛(𝑃1) = 𝑉𝑛(𝑃0) = 𝑣 > 0, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. В 1887 году Брунн строго доказал, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣, используя эффективный приём одновременногоодинакового деления объёмов 𝑃0, 𝑃1 гиперплоскостью в R𝑛+1. В предлагаемой статье это называется рассечением Брунна. Для строго неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 оставалось неболь-шим "шевелением" перейти от тела 𝑃1 к другому выпуклому телу ̃︀ 𝑃1, 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃1) = 𝑣, так, что 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃), где ̃︀ 𝑃 – новое сечение в гиперплоскости 𝐿, возникающее после замены 𝑃1на ̃︀ 𝑃1. Поскольку 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃) > 𝑣, то 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Проще всего такая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется в случае выпуклых многогранников 𝑃0, которыми можно приближать выпуклые тела сколь угодно близко. Совсем просто требуемая замена 𝑃1 на ̃︀ 𝑃1 осуществляется, когда в качестве 𝑃0 выступают 𝑛-мерные симплексы, на которые выпуклый многогранник может разбиваться рассечениями Брунна. До настоящего времени не предлагался очерченный выше достаточно наивный естественный геометрический способ доказательства строгого неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 как бы в лоб может из-за того, что изначально теорема форму-лировалась не для выпуклых многогранников 𝑃0, 𝑃1, а для произвольных выпуклых тел.Главная же причина, по мнению автора, заключается в алгебраическом представлении 𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, где 𝑡 – отношение расстояния от 𝐿0 до 𝐿 к расстоянию от 𝐿0 до 𝐿1,0 < 𝑡 < 1. Это приводит к соблазну переходить в доказательствах теоремы от R𝑛+1 к R𝑛 и использовать эквивалентную формулировку теоремы, считая 𝐿0 = 𝐿1 = R𝑛. В результате от ситуации общего положения, когда 𝐿0 ̸= 𝐿1, перешли в особенность 𝐿0 = 𝐿1, в условиях которой существенно уменьшаются возможности для привлечения геометрической интуиции и, как следствие, уменьшаются возможности для более простых наглядных геометрических обоснований неравенства 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. Настоящей статьёй показывается, что при доказательстве теоремы в эквивалентной формулировке следует, напротив, простран-ство R𝑛 включать в R𝑛+1 и использовать изначальную формулировку теоремы, когда основным инструментом доказательства элементарными средствами становится рассечение Брунна. Справедливости ради следует отметить, что многочисленные приложения настоящей теоремы, полученные Минковским и другими авторами, связаны как раз c её эквивалентной формулировкой, со смешанными объёмами, с алгебраическими представлениями𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, называемыми суммами Минковского.
Brunn in 1887 formulated a theorem on three parallel sections of a convex body with extreme sections of the same area, but not obtained from each other by a parallel shift, asserting thatthe area of the middle section is strictly larger, and correctly proved, as Minkowski noted, that only not less. The elimination of equality, which was still considered the most difficult in thetheorem, has been proved up to the present time by many authors, using serious mathematics.The article proposes a fundamentally different geometric approach to the proof of the theorem, due to which, for the correct completion of Brunn’s original proof, one can restrict oneself to the elementary means available to schoolchildren, bypassing the difficulties with equality. The proposed reasoning extends to all dimensions, like the theorem itself, as pointed out by Brunn. Let, in the general case, 𝑉𝑛(𝑄) be the 𝑛-dimensional volume of the body 𝑄 ⊂ R𝑛, 𝐿0, 𝐿1 be parallel hyperplanes in R𝑛+1, containing respectively convex bodies 𝑃0, 𝑃1, and 𝐿 is a parallel hyperplane, located strictly between them, and 𝑃 is the intersection of 𝐿 with the convex hull 𝑃0 ∪ 𝑃1. Brunn’s theorem states that if 𝑃1 is not obtained from 𝑃0 by parallel translation and 𝑉𝑛(𝑃1) = 𝑉𝑛(𝑃0) = 𝑣 > 0, then 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. In 1887, Brunn rigorously proved that 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 using the effective trick of the division of the volumes 𝑃0, 𝑃1 by a hyperplane in R𝑛+1. Inthis article, this is called Brunn cuts. For the strictly inequality 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣, it remained a small "perturbation" go from the body 𝑃1 to another convex body ̃︀ 𝑃1, 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃1) = 𝑣 , so that𝑉𝑛(𝑃) > 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃), where ̃︀ 𝑃 is a new section in the hyperplane 𝐿 arising after replacing 𝑃1 with ̃︀ 𝑃1. Since 𝑉𝑛( ̃︀ 𝑃) > 𝑣, then 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣. The easiest way is to replace 𝑃1 with ̃︀ 𝑃1 in the caseof convex polytopes 𝑃0, which can approximate convex bodies arbitrarily close. The required replacement of 𝑃1 by ̃︀ 𝑃1 is quite simple, when 𝑛-dimensional simplices act as 𝑃0, into which theconvex polytope can be split by Brunn cuts. Until now, the sufficiently naive natural geometric method outlined above has not been proposed for proving the strict inequality 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣,as it were head-on, due to the fact that initially the theorem was formulated not for convex polytopes 𝑃0, 𝑃1, but for arbitrary convex bodies. The main reason, according to the author,lies in the algebraic representation 𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, where 𝑡 is the ratio of the distance from 𝐿0 to 𝐿 to the distance from 𝐿0 to 𝐿1, 0 < 𝑡 < 1. This leads to the temptation to go over in the proofs of the theorem from R𝑛+1 to R𝑛 and use the equivalent statement of the theorem, assuming 𝐿0 = 𝐿1 = R𝑛. As a result, from the general situation, when 𝐿0 ̸= 𝐿1, passed into the singularity 𝐿0 = 𝐿1, in the conditions of which the possibilities for attracting geometric intuition are significantly reduced and, as a consequence, the possibilities for simpler visual geometric justifications of the inequality 𝑉𝑛(𝑃) > 𝑣 are significantly reduced. This article shows that in the proof of the theorem in an equivalent formulation, on the contrary, the spaceR𝑛 should be included in R𝑛+1 and use the original formulation of the theorem, when the main tool of the proof the elementary means are Brunn cuts. For the sake of fairness, it should benoted that numerous applications of this theorem, obtained by Minkowski and other authors, are connected precisely with its equivalent formulation, with mixed volumes, with algebraicrepresentations 𝑃 = (1 − 𝑡)𝑃0 + 𝑡𝑃1, called Minkowski sums.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.