chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-104-120cheb-985Research ArticleСтатьиArticleОб аналоге задачи Гельфонда для обобщенных разложений ЦеккендорфаOn Gelfond-type problem for generalized Zeckendorf representationsЖуковаАлла АдольфовнаZhukovaAlla Adolfovna

кандидат физико-математических наук, доцент

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor

georg967@mail.ruШутовАнтон ВладимировичShutovAnton Vladimirovich

кандидат физико-математических наук

candidate of physical and mathematical sciences

a1981@mail.ruРоссийская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации, Владимирский филиалРоссияRussian Academy of National Economy and Public Administration under the President of Russian Federation, Vladimir branchRussian FederationВладимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича СтолетовыхРоссияVladimir State University named after Alexander and Nicholay StoletovsRussian Federation202101062021222104120Copyright © Жукова А.А., Шутов А.В., 20212021Жукова А.А., Шутов А.В.Zhukova A.A., Shutov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/985

Гельфонд доказал что при условии взаимной простоты 𝑏 − 1 и 𝑑 суммы цифр разложений натуральных чисел в 𝑏-ичную систему счисления равномерно распределены поарифметическим прогрессиям с разностью 𝑑. Позднее аналогичный результат был получен для разложений натуральных чисел по линейным рекуррентным последовательностям.Мы рассматриваем вопрос об остаточном члене в соответствующей асимптотике и изучаем дихотомию между логарифмической и степенной оценкой остаточного члена. В случае 𝑑 = 2 получены некоторые достаточные условия справедливости логарифмической оценки. С их помощью показано, что логарифмическая оценка имеет место для разложений по всем рекуррентным последовательностям порядка 2 и бесконечному семейству последовательностей порядка 3, а также строим пример линейной рекуррентной последовательности произвольного порядка с таким свойством. С другой стороны, мы приводим пример линейной рекуррентной последовательности третьего порядка, для которой логарифмическая оценка не имеет места. Также нами показано, что для 𝑑 = 3 логарифмическаяоценка не имеет места уже в простейшем случае разложений по числам Фибоначчи.Кроме того, мы рассматриваем разложения натуральных чисел по знаменателям подходящих дробей к произвольному иррациональному числу. В этом случае нами доказана равномерность распределения сумм цифр по арифметическим прогрессиям с разностью 2 с логарифмическим остаточным членом.

Gelfond proved that for coprime 𝑏 − 1 and 𝑑 sums of digits of 𝑏-ary expressions of natural numbers are uniformly distributed on arithmetic progressions with the common difference 𝑑.Later, similar result was proved for the representations of natural numbers based on linear recurrent sequences.We consider the remainder term of the corresponding asymptotic formula and study the dichotomy between the logarithmic and power estimates of the remainder term. In the case 𝑑 = 2, we obtain some sufficient condition for the validity of the logarithmic estimate. Using them, we show that the logarithmic estimate holds for expansions based on all second-order linear recurrenct sequences and on infinite family of third-order sequences. Also we construct an example of the linear reccurent sequence of an arbitrary order with such property. On the other hand, we give an example of a third-order linear recurrent sequence for which the logarithmic estimate does not hold. We also show that for 𝑑 = 3 the logarithmic estimate does not hold even in the simplest case of the expansions based on Fibonacci numbers.In addition, we consider the representations of natural numbers based on the denominators of partial convergents of the continued fraction expansions of irrational numbers. In this case,we prove the uniformity of the distribution of sums of digits over arithmetic progressions with the common difference 2 with the logarithmic remainder term.

числа Фибоначчиобобщенные разложения Цеккендорфалинейные рекуррентные последовательностицепные дробисуммы цифрзадача ГельфондаFibonacci numersgeneralized Zeckendorf representationslinear reccurent sequencescontinued fractionssums of digintsGelfond problemReferencesDumont J.-M., Thomas A. Systemes de numeration et fonctions fractales relatifs aux substitutions // Theoretical computer science. 1989. Vol. 65, №2. P. 153-169.Dumont, J.-M. & Thomas, A. 1989, “Systemes de numeration et fonctions fractales relatifs aux substitutions“, Theoretical computer science, vol. 65, no. 2, pp. 153-169. doi: 10.1016/0304-3975(89)90041-8.Dumont J.-M., Thomas A. Gaussian asymptotic properties of the sum-of-digits function // J. Number Theory. 1997. Vol. 62. P. 19–38.Dumont, J.-M. & Thomas, A. 1997, “Gaussian asymptotic properties of the sum-of-digits function“, J. Number Theory, vol. 62, pp. 19–38. doi: 10.1006/jnth.1997.2044.Gelfond A. O. Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees // Acta Aithmetica. 1968. Vol. 13. P. 259-265.Gelfond, A. O. 1968, “Sur les nombres qui ont des propri´et´es additives et multiplicatives donn´ees“, Acta Aithmetica, vol. 13, pp. 259-265. doi: 10.4064/aa-13-3-259-265.Zeckendorf E. Representation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas // Bull. Soc. R. Sci. Liege. 1972. Vol. 41. P. 179-182.Zeckendorf, E. 1972, “Representation des nombres naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres de Lucas“, Bull. Soc. R. Sci. Liege, vol. 41, pp. 179-182.Drmota M., Ska lba M. The Parity of the Zeckendorf Sum-of-Digits-Function // Manuscripta mathematica. 2000. Vol. 101. P. 361–383.Drmota, M. & Ska lba, M. 2000, “The Parity of the Zeckendorf Sum-of-Digits-Function“, Manuscripta mathematica, vol. 101, pp. 361–383. doi: 10.1007/s002290050221.Drmota M., Gajdosik J. The Parity of the Sum-of-Digits-Function of Generalized Zeckendorf Representations // Fibonacci Quarterly. 1998. Vol. 36, №1. P. 3-19.Drmota, M. & Gajdosik J. 1998, “The Parity of the Sum-of-Digits-Function of Generalized Zeckendorf Representations“, Fibonacci Quarterly, vol. 36, no. 1, pp. 3-19.Khinchin A.Ya. Zur metrischen Kettenbruchtheorie // Compositio Matlzematica. 1936. Vol. 3, №2. P. 275–285.Khinchin, A.Ya. 1936, “Zur metrischen Kettenbruchtheorie“, Compositio Matlzematica, vol. 3, no. 2, pp. 275–285.Lamberger M., Thuswaldner J. W. Distribution properties of digital expansions arising from linear recurrences // Mathematica Slovaca. 2003. Vol. 53, №1. P. 1-20.Lamberger, M. & Thuswaldner, J. W. 2003, “Distribution properties of digital expansions arising from linear recurrences“, Mathematica Slovaca, vol. 53, no. 1, pp. 1-20.Madritsch M. G., Thuswaldner J. M. The level of distribution of the sum-of-digits function of linear recurrence number systems // Cornell University. 2019. Arxiv.1909.08499.Madritsch, M. G. & Thuswaldner, J. M. 2019, “The level of distribution of the sum-of-digits function of linear recurrence number systems“, Cornell University, arxiv. 1909.08499.Mauduit C., Rivat J. Sur un probl`eme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers // Annals of Mathematics. 2010. Vol. 171, №3. P. 1591-1646.Mauduit, C. & Rivat, J. 2010, “Sur un probl`eme de Gelfond: la somme des chiffres des nombres premiers“, Annals of Mathematics, vol. 171, no. 3, pp. 1591–1646.Ostrowski V. A. Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1922. Vol. 1. P. 77-98.Ostrowski, V. A. 1922, “Bemerkungen zur Theorie der diophantischen Approximationen“, Abh. Math. Semin. Hamburg Univ., vol. 1, pp. 77-98. doi: 10.1007/BF02940581.Parry W. On the 𝛽-expansion of real numbers // Acta Math. Acad. Sci. Hung. 1960. Vol. 11. P. 401-416.Parry, W. 1960, “On the 𝛽-expansion of real numbers“, Acta Math. Acad. Sci. Hung., vol. 11, pp. 401-416. doi: 10.1007/BF02020954.Shutov A. V. On sum of digits of the Zeckendorf representations of two consecutive numbers // Fibonacci quarterly. 2020 (accepted)Shutov, A. V. 2020, “On sum of digits of the Zeckendorf representations of two consecutive numbers“, Fibonacci quarterly (accepted).Карацуба А. А., Новак Б. Арифметические задачи с числами специального вида // Матем. заметки. 1999. Т. 66, №2. С. 314–317.Karatsubaa, A. A. & Novak, B. 1999, “Arithmetical problems with numbers of special type“, Mathematical Notes, vol. 66, no. 2, pp. 251–253. doi: 10.1007/FBF02674886.Науменко А. П. О числе решений некоторых диофантовых уравнений в натуральных числах с заданными свойствами двоичных разложений // Чебышевский сб. 2011. Т. 12, №1. С. 140–157.Naumenko, A.P. 2011, “On the number of solutions of some Diophantine equations in positive integers with given properties of binary expansions“, Chebyshevskii Sb., vol. 12, no. 1, pp.Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Т. 1 М.: Мир, 1990.–157.Эминян К. М. Об одной бинарной задаче // Матем. заметки. 1996. Т. 60, №4. С. 634–637.Stanley, R. 1986, “Enumerative combinatorics“, vol. 1, Monterey: Wadsworrth.Эминян К. М. О представлении чисел с заданными свойствами двоичного разложения суммами двух квадратов // Тр. МИАН. 1994. Т. 207. М.: Наука. С. 377–382.Eminyan, K. M. 1996, “A binary problem“, Mathematical Notes, vol. 60, no. 4, pp. 478–481. doi: 10.1007/FBF02305438.Эминян К. М. О средних значениях функции 𝜏𝑘(𝑛) в некоторых последовательностях натуральных чисел // Матем. заметки. 2011. Т. 90, №3. С. 439-447.Eminyan, K. M. 1995, “On the representation of numbers with given properties of binary expansion by sums of two squares“, Proc. Steklov Inst. Math., vol. 207, pp. 347–351.Eminyan, K. M. 2011, “On the Mean Values of the Function 𝜏𝑘(𝑛) in Sequences of Natural Numbers“, Mathematical Notes, vol. 90, no. 3, pp. 439–447. doi: 10.1134/FS0001434611090124.Eminyan, K. M. 2011, “On the Mean Values of the Function 𝜏𝑘(𝑛) in Sequences of Natural Numbers“, Mathematical Notes, vol. 90, no. 3, pp. 439–447. doi: 10.1134/FS0001434611090124.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.