chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-2-90-103cheb-984Research ArticleСтатьиArticleРасширения Любина — Тейта и модуль Карлица над проективной прямой: явная связьLubin–Tate extensions and Carlitz module over a projective line: an explicit connectionЕлизаровНикита ВячеславовичElizarovNikita Vyacheslavovich

магистрант

graduate student

nikich97@bk.ruВостоковСергей ВладимировичVostokovSergei Vladimirovich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

s.vostokov@spbu.ruСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation20210106202122290103Copyright © Елизаров Н.В., Востоков С.В., 20212021Елизаров Н.В., Востоков С.В.Elizarov N.V., Vostokov S.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/984

В данной статье рассматриваются различные подходы к построению максимальных абелевых расширений для локальных и глобальных геометрических полей. Теория Любина — Тейта играет ключевую роль в построении максимального Абелева расширения для локальных геометрических полей. В случае глобальных геометрических полей особый интерес представляют модули Дринфельда. В настоящей работе рассматривается самый простой частный случай модулей Дринфельда для проективной прямой, который называется модулем Карлица.Во введении мы приводим мотивацию и краткую историческую справку по затронутым в работе темам.В первом и втором разделах мы приводим краткую информацию о модулях Любина- Тейта и модуле Карлица.В третьем разделе мы приводим два основных результата:• установлена явная связь между теориями глобальных и локальных полей в геометрическом случае проективной прямой над конечным полем: доказано, что башня расширения модуля Карлица индуцирует башню расширений Любина-Тейта.• установлена связь между отображениями Артина расширений функционального поля произвольной проективной гладкой неприводимой кривой и расширениями пополнений локальных колец в замкнутых точках этой кривой.В последнем разделе мы формулируем различные открытые задачи и интересные направления для дальнейших исследований, которые включают обобщение первого результата для произвольной гладкой проективной кривой над конечным полем и рассмотрение модулей Дринфельда более высокого ранга.

In this article we consider different approaches for constructing maximal abelian extensions for local and global geometric fields. The Lubin–Tate theory plays key role in the maximal abelian extension construction for local geometric fields. In the case of global geometric fields, Drinfeld modules are of particular interest. In this paper we consider the simpliest special caseof Drinfeld modules for projective line which is called the Carlitz module.In the introduction, we provide motivation and a brief historical background on the topics covered in the work.In the first and second sections we provide brief information about Lubin–Tate modules and Carlitz module.In the third section we present two main results:• an explicit connection between the local and global field theory in the geometric case for projective line over finite field: it is proved that the extension tower of Carlitz module induces the tower of the Lubin–Tate extensions.• a connection between Artin maps of extensions of a function field of an arbitrary projective smooth irreducible curve and extensions of completions of local rings at closed points ofthis curve.In the last section we formulate different open problems and interesting directions for further research, which include generalization first result for an arbitrary smooth projective curve over a finite field and consideration Drinfeld modules of higher rank.

теория полей классовтеория Любина — Тейтамодуль Карлицамо- дули Дринфельдаотображение Артинамаксимальное абелево расширениепроективная прямая над конечным полемclass field theoryLubin–Tate theoryCarlitz moduleDrinfeld modulesArtin mapmaximal abelian extensionprojective line over a finite fieldReferencesВостоков С. В. Явная форма закона взаимности //Известия Российской академии наук.Vostokov, S.V., 1978, "Explicit form of the law of reciprocity Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk.Серия математическая. – 1978. – Т. 42. – №. 6. – P. 1288-1321.Seriya Matematicheskaya, vol. 42, no. 6, pp.1288-1321.Востоков С. В. Символ Гильберта в дискретно нормированном поле //Записки научных семинаров ПОМИ. – 1979. – Т. 94. – №. 0. – С. 50-69.Vostokov, S.V., 1979, "Hilbert symbol in a discrete valuated field Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, vol. 94, pp.50-69.Шафаревич И. Р. Общий закон взаимности // Математический сборник. – 1950. – Т. 26. – №. 1. – С. 113-146.Shafarevich, I.R., 1950, "A general reciprocity law Matematicheskii Sbornik, vol. 68, no 1., pp.113-146.Silverman, Joseph H. The arithmetic of elliptic curves. Vol. 106. Springer Science & Business Media, 2009. – Т. 106.Silverman, J.H. 2009, The arithmetic of elliptic curves (Vol. 106), Springer Science & Business Media.Strickland N. P. Formal schemes and formal groups //Contemporary Mathematics. – 1999. – Т. 239. – P. 263-352.Strickland, N.P., 1999, "Formal schemes and formal groups Contemporary Mathematics, vol. 239, pp.263-352.Yoshida T. Local class field theory via Lubin-Tate theory //Annales de la Facult´e des sciences de Toulouse: Math´ematiques. – 2008. – Т. 17. – №. 2. – P. 411-438.Yoshida, T., 2008, "Local class field theory via Lubin-Tate theory In Annales de la Facult´e des sciences de Toulouse: Math´ematiques, vol. 17, no. 2, pp. 411-438.Goss D. Basic structures of function field arithmetic. – Springer Science & Business Media, 2012.Goss, D. 2012, Basic structures of function field arithmetic, Springer Science & Business Media.Rosen M. Number theory in function fields. – Springer Science & Business Media, 2013. – Т. 210.Rosen, M. 2013, Number theory in function fields (Vol. 210), Springer Science & Business Media.P´eter T´oth. Geometric abelian class field theory. – Master Thesis, Universiteit Utrecht, 2011.T´oth, P., 2011, "Geometric abelian class field theory Master Thesis, Universiteit Utrecht.Ивасава К. Локальная теория полей классов. – Мир, 1983.Iwasawa K. and Iwasawa K. 1986, Local class field theory, New York : Oxford University Press.Thakur D. S. Function field arithmetic. – World Scientific, 2004.Thakur, D.S. 2004, Function field arithmetic, World Scientific.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.