кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
Одной из основных проблем для полуабелевых 𝑛-групп является нахождение (𝑛, 2)- почтиколец, которые изоморфны (𝑛, 2)-почтикольцам эндоморфизмов некоторых полуабелевых 𝑛-групп. Такие (𝑛, 2)-почтикольца найдены для полуциклических 𝑛-групп.На аддитивной группе целых чисел 𝑍 строим абелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓1⟩ с 𝑛-арной операцией 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +. . .+𝑧𝑛 +𝑙, где 𝑙 — любое целое число. Для не тождественного автоморфизма 𝜙(𝑧) = −𝑧 на 𝑍 можно задать полуабелеву 𝑛-группу ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для 𝑛 = 2𝑘 +1, 𝑘 ∈ 𝑁, с 𝑛-арной операцией 𝑓2(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Любаябесконечная полуциклическая 𝑛-группа изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓1⟩, где 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−1/2 ], либо 𝑛-группе ⟨𝑍, 𝑓2⟩ для нечетных 𝑛. В первом случае будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (∞, 1, 𝑙), а во втором случае — имеет тип (∞,−1, 0).В 𝑍 выделим множество 𝑃 = {𝑚|𝑚𝑙 ≡ 𝑙 (mod 𝑛 − 1)} и на нем определим 𝑛-арную операцию ℎ по правилу ℎ(𝑚1, . . . ,𝑚𝑛) = 𝑚1 + . . . + 𝑚𝑛. Тогда алгебра ⟨𝑃, ℎ, ·⟩, где · — умножение целых чисел, будет (𝑛, 2)-кольцом. Доказано, что ⟨𝑃, ℎ, ·⟩ изоморфно (𝑛, 2)- кольцу эндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (∞, 1, 𝑙).
В 𝑛-группе ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ⟩ = ⟨𝑍, 𝑓2⟩ × ⟨𝑍, 𝑓2⟩ определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑚1, 𝑢1) ◇ (𝑚2, 𝑢2) = (𝑚1𝑚2,𝑚1𝑢2 + 𝑢1). Тогда ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-почтикольцом. Доказано, что ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ, ◇⟩ изоморфно (𝑛, 2)-почтикольцу эндоморфизмов полуциклической𝑛-группы типа (∞,−1, 0). Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑧1 * 𝑧2= 𝑧1𝑧2(𝑛−1)+𝑧1 +𝑧2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов бесконечной циклической 𝑛-группы.На аддитивной группе кольца классов вычетов 𝑍𝑘 определим 𝑛-группу ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑛- арная операция 𝑓3 действует по правилу 𝑓3(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑚𝑧2 +. . .+𝑚𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛 +𝑙, 1 ≤ 𝑚 < 𝑘 и 𝑚 взаимно прост с 𝑘. Кроме того, 𝑚 удовлетворяет сравнению 𝑙𝑚 ≡ 𝑙(mod 𝑘) и показатель числа 𝑚 по модулю 𝑘 делит 𝑛−1. Любая конечная полуциклическая 𝑛-группа порядка 𝑘 изоморфна 𝑛-группе ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, где 𝑙 | НОД (𝑛 − 1, 𝑘) при 𝑚 = 1 и𝑙 | НОД (𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 , 𝑘) при 𝑚 ̸= 1. Будем говорить, что такая 𝑛-группа имеет тип (𝑘, 𝑚, 𝑙).В 𝑛-группе ⟨𝑃, ℎ⟩ = ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩×⟨𝑍𝑙, 𝑓4⟩, где 𝑓4(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 +𝑟𝑧2 +. . .+𝑟𝑛−2𝑧𝑛−1 +𝑧𝑛, 𝑟 — остаток от деления 𝑚 на 𝑙, определим бинарную операцию ◇ по правилу (𝑢1, 𝑣1) ◇ (𝑢2, 𝑣2) = (𝑢2𝑠1 + 𝑢1, 𝑣2𝑠1 + 𝑣1)где 𝑠1 ∈ 𝑍𝑘 и 𝑠1−1 = 𝑠0+𝑣1/𝑘/𝑙 , где 𝑠0 — решение сравнения 𝑥 ≡ (𝑛−1)𝑢1𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 = 1и 𝑥 ≡𝑚𝑛−1−1/𝑚−1 𝑢1/𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) при 𝑚 ̸= 1. Доказано, что алгебра ⟨𝑃, ℎ, ◇⟩ будет (𝑛, 2)-кольцом при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцом при 𝑚 ̸= 1, которое изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов абелевой полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 1, 𝑙) при 𝑚 = 1 и (𝑛, 2)-почтикольцуэндоморфизмов полуциклической 𝑛-группы типа (𝑘, 𝑚, 𝑙) при 𝑚 ̸= 1.Доказано, что (𝑛, 2)-кольцо ⟨𝑍𝑘, 𝑓, *⟩, где 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 и 𝑢1 * 𝑢2== 𝑢1 · 𝑢2 · (𝑛−1)+𝑢1 +𝑢2, изоморфно (𝑛, 2)-кольцу эндоморфизмов конечной циклической 𝑛-группы порядка 𝑘.
are isomorphic to (𝑛, 2)-nearrings of endomorphisms of certain semiabelian 𝑛-groups. Such almost (𝑛, 2)-nearrings are found for semicyclic 𝑛-groups.On the additive group of integers 𝑍 we construct an abelian 𝑛-group ⟨𝑍, 𝑓1⟩ with 𝑛- ary operation 𝑓1(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 𝑙, where 𝑙 is any integer. For a nonidentical automorphism 𝜙(𝑧) = −𝑧 on 𝑍, we can specify semiabelian 𝑛-group ⟨𝑍, 𝑓2⟩ for 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ∈ 𝑁, with the 𝑛-ary operation 𝑓2(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 − 𝑧2 + . . . + 𝑧2𝑘−1 − 𝑧2𝑘 + 𝑧2𝑘+1. Any infinite semicyclic 𝑛-group is isomorphic to either the 𝑛-group ⟨𝑍, 𝑓1⟩, where 0 ≤ 𝑙 ≤ [𝑛−12 ], or the 𝑛-group ⟨𝑍, 𝑓2⟩ for odd 𝑛. In the first case we will say that such 𝑛-group has type (∞, 1, 𝑙), and in the second case, it has type (∞,−1, 0).In 𝑍 we select the set 𝑃 = {𝑚|𝑚𝑙 ≡ 𝑙 (mod 𝑛 − 1)} and define an 𝑛-ary operation ℎ by the rule ℎ(𝑚1, . . . ,𝑚𝑛) = 𝑚1 + . . . + 𝑚𝑛 on this set. Then the algebra ⟨𝑃, ℎ, ·⟩, where · is the multiplication of integers, is a (𝑛, 2)-ring. It is proved that ⟨𝑃, ℎ, ·⟩ is isomorphic to (𝑛, 2)-ring of endomorphisms of semicyclic 𝑛-group of type (∞, 1, 𝑙).
In the 𝑛-group ⟨𝑍 × 𝑍, ℎ⟩ = ⟨𝑍, 𝑓2⟩ × ⟨𝑍, 𝑓2⟩ we define the binary operation ◇ by the rule (𝑚1, 𝑢1) ◇ (𝑚2, 𝑢2) = (𝑚1𝑚2,𝑚1𝑢2 +𝑢1). Then ⟨𝑍 ×𝑍, ℎ, ◇⟩ is an (𝑛, 2)-nearringsg. It is proved that ⟨𝑍 ×𝑍, ℎ, ◇⟩ is isomorphic to (𝑛, 2)-nearrings of endomorphisms of a semicyclic 𝑛-group of type (∞,−1, 0).It is proved that (𝑛, 2)-ring ⟨𝑍, 𝑓, *⟩, where 𝑓(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + . . . + 𝑧𝑛 + 1 and 𝑧1 * 𝑧2 = 𝑧1𝑧2(𝑛 − 1) + 𝑧1 + 𝑧2, is isomorphic to (𝑛, 2)-rings of endomorphisms of infinite cyclic 𝑛-group.On additive group of the ring of residue classes of 𝑍𝑘 we define 𝑛-group ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, where the 𝑛- ary operation 𝑓3 operates according to the rule 𝑓3(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1+𝑚𝑧2+. . .+𝑚𝑛−2𝑧𝑛−1+𝑧𝑛+𝑙, 1 ≤ 𝑚 < 𝑘 and 𝑚 is relatively prime to 𝑘. In addition, 𝑚 satisfies the congruence 𝑙𝑚 ≡ 𝑙 (mod 𝑘) and multiplicative order of 𝑚 modulo 𝑘 divides 𝑛 − 1. Any finite semicyclic 𝑛-group of order 𝑘is isomorphic to 𝑛-group ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩, where 𝑙 | gcd(𝑛 − 1, 𝑘) for 𝑚 = 1 and 𝑙 | gcd(𝑚𝑛−1−1 𝑚−1 , 𝑘) for 𝑚 ̸= 1. We will say that such 𝑛-group has type (𝑘, 𝑚, 𝑙).
In the 𝑛-group ⟨𝑃, ℎ⟩ = ⟨𝑍𝑘, 𝑓3⟩ × ⟨𝑍𝑙, 𝑓4⟩, 𝑓4(𝑧1, . . . , 𝑧𝑛) = 𝑧1 + 𝑟𝑧2 + . . . + 𝑟𝑛−2𝑧𝑛−1 + 𝑧𝑛, where 𝑟 is the remainder of dividing 𝑚 by 𝑙, we define the binary operation ◇ by the rule
$$(𝑢1, 𝑣1) ◇ (𝑢2, 𝑣2) = (𝑢2𝑠1 + 𝑢1, 𝑣2𝑠1 + 𝑣1)$$
where 𝑠1 ∈ 𝑍𝑘, (𝑠1 − 1 = 𝑠0 + 𝑣1)/𝑘𝑙 , and 𝑠0 is solution of congruence 𝑥 ≡ (𝑛−1)𝑢1𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) for 𝑚 = 1 and 𝑥 ≡ 𝑚𝑛−1−1 𝑚−1 𝑢1 𝑙 (mod 𝑘/𝑙 ) for 𝑚 ̸= 1. It is proved that the algebra ⟨𝑃, ℎ, ◇⟩ is (𝑛, 2)-ring for 𝑚 = 1 and (𝑛, 2)-nearring for 𝑚 ̸= 1, which is isomorphic to (𝑛, 2)-ring of endomorphisms of abelian semicyclic 𝑛-group of type (𝑘, 1, 𝑙) with 𝑚 = 1 and (𝑛, 2)-nearring of endomorphisms of semicyclic 𝑛-groups of type (𝑘, 𝑚, 𝑙) for 𝑚 ̸= 1.It is proved that (𝑛, 2)-ring ⟨𝑍𝑘, 𝑓, *⟩, where 𝑓(𝑧1, 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠, 𝑧𝑛) = 𝑧1 + 𝑙𝑑𝑜𝑡𝑠 + 𝑧𝑛 + 1 and 𝑢1 *𝑢2 = 𝑢1 𝑐𝑑𝑜𝑡𝑢2 𝑐𝑑𝑜𝑡(𝑛−1)+𝑢1+𝑢2, is isomorphic to (𝑛, 2)-ring of endomorphisms of finite cyclic 𝑛-group of order 𝑘.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.