кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
В статье рассматриваются многомерные несобственные интегралы от функций, являющихся произведением обобщенных многочленов в некоторых степенях. Такие интегралы встречаются во многих разделах математики и теоретической физики. В частности, к ним относятся интегралы Фейнмана, возникающие при изучении различных объектов квантовой теории поля. Точное вычисление этих интегралов является сложной и не всегда возможной задачей, поэтому определение условий их сходимости и получение их асимптотического разложения по одному из параметров представляет значительный практическийинтерес. Условия сходимости рассмотренных в работе интегралов ещё могут быть использованы, например, при исследовании кратных рядов, представляющих сумму значений рациональной функции в узлах целочисленной решетки.В статье рассмотрена задача, когда областью интегрирования является Rn+, а обобщенные многочлены, входящие в подынтегральную функцию, либо положительны всюду,кроме нуля, либо имеют положительные коэффициенты. Описано множество сходимости этих интегралов и доказана равносильность условия сходимости условию на многогранники Ньютона многочленов в подынтегральных функциях.Доказанный в работе критерий сходимости совпадает по формулировке с соответствующим результатом работ А. К. Циха и Т. О. Ермолаевой, но он получен другими методамии для немного более широкого множества подынтегральных функций.Доказательства утверждений в работе основаны на простейших свойствах выпуклых многогранников и базовых фактах из теории несобственных кратных интегралов
The article considers multidimensional improper integrals of functions that are the product of generalized polynomials in some degrees. Such integrals are found in many branches ofmathematics and theoretical physics. In particular, they include Feynman integrals arising in the study of various objects of quantum field theory. The exact calculation of these integrals is adifficult and not always possible task; therefore, determining the conditions for their convergence and obtaining their asymptotic expansion in one of the parameters is of considerable practicalinterest. The convergence conditions for the integrals considered in the article can still be used, for example, in the study of multiple series representing the sum of the values of a rationalfunction at the nodes of an integer lattice.The article considers the problem when the integration area is R+^n, and the generalized polynomials included in the integrand are either positive everywhere except zero or have positivecoefficients. The convergence set of these integrals is described and the equivalence of the convergence condition to the condition on the Newton polytopes of polynomials in integrandsis proved.
The convergence criterion proved in the paper coincides in formulation with the corresponding result of the work of A. K. Tsikh and T. O. Ermolaeva, but it was obtained by othermethods and for a slightly wider set of integrands.The proofs of the statements in the paper are based on the simplest properties of convex polytopes and basic facts from the theory of improper multiple integrals.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.