кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук
candidate of physical and mathematical sciences
кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, associateprofessor
В статье проведено исследование возможности гомологического описания радикалов Джекобсона и локально нильпотентного для алгебр Ли, их связь с $$PI$$-неприводимо представленным радикалом, а также изучены некоторые свойства примитивных алгебр Ли. Доказывается аналог теоремы Ф. Кубо для почти локально разрешимых алгебр Ли с нулевым радикалом Джекобсона. Показано, что радикал Джекобсона специальной почти локально разрешимой алгебра Ли $$L$$ над полем $$F$$ характеристики нуль равен нулю тогда и только тогда, когда алгебра Ли $$L$$ имеет разложение Леви $$L=S\oplus Z(L)$$, где $$Z(L)$$ -- центр алгебры $$L$$, $$S$$ -- конечномерная подалгебра $$L$$ такая, что $$J(L)=0$$. Теорема Е. Маршалла обобщена на случай почти локально разрешимых алгебр Ли. Для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$ показано включение $$IrrPI(L)\subset J(L)$$, которое в общем случае является строгим. Приведен пример алгебры Ли $$L$$, для которой выполнено строгое включение $$J(L)\subset IrrPI(L)$$. Показано, что для произвольной специальной алгебры Ли $$L$$над полем $$F$$ характеристики нуль справедливо включение $$N(L)\subset IrrPI(L)$$, которое в общем случае является строгим. Показано, что большинство алгебр Ли над полем являются примитивными. Приведен пример абелевой алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем не являющейся примитивной. Приведены примеры, показывающие, что бесконечномерные коммутативные алгебры Ли являются примитивными над любыми полями; конечномерная абелева алгебра, размерности больше 1, над алгебраически замкнутым полем не является примитивной; пример неартиновой некоммутативной алгебры Ли являющейся примитивной. Показано, что для специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль $$PI$$-неприводимо представленный радикал совпадает с локально нильпотентным. Приведен пример алгебры Ли, локально нильпотентный радикал которой не является ни локально нильпотентным, ни локально разрешимым. Даются достаточные условия примитивности алгебры Ли, приводятся примеры примитивных алгебр Ли и алгебры Ли не являющейся примитивной.
In the paper investigates the possibility of homological description of Jacobson radical and locally nilpotent radical for Lie algebras, and their relation with a $$PI$$ - irreducibly represented radical, and some properties of primitive Lie algebras are studied. We prove an analog of The F. Kubo theorem for almost locally solvable Lie algebras with a zero Jacobson radical. It is shown that the Jacobson radical of a special almost locally solvable Lie algebra $$L$$ over a field $$F$$ of characteristic zero is zero if and only if the Lie algebra $$L$$ has a Levi decomposition $$L=S\oplus Z(L)$$, where $$Z(L)$$ is the center of the algebra $$L$$, $$S$$ is a finite-dimensional subalgebra $$L$$ such that $$J(L)=0$$. For an arbitrary special Lie algebra $$L$$, the inclusion of $$IrrPI(L)\subset J(L)$$ is shown, which is generally strict. An example of a Lie algebra $$L$$ with strict inclusion $$J(L)\subset IrrPI(L)$$ is given. It is shown that for an arbitrary special Lie algebra $$L$$ over the field $$F$$ of characteristic zero, the inclusion of $$N (L)\subset IrrPI(L)$$, which is generally strict. It is shown that most Lie algebras over a field are primitive. An example of an Abelian Lie algebra over an algebraically closed field that is not primitive is given. Examples are given showing that infinite-dimensional commutative Lie algebras are primitive over any fields; a finite-dimensional Abelian algebra of dimension greater than 1 over an algebraically closed field is not primitive; an example of a non-Cartesian noncommutative Lie algebra is primitive. It is shown that for special Lie algebras over a field of characteristic zero $$PI$$-an irreducibly represented radical coincides with a locally nilpotent one. An example of a Lie algebra whose locally nilpotent radical is neither locally nilpotent nor locally solvable is given. Sufficient conditions for the primitiveness of a Lie algebra are given, and examples of primitive Lie algebras and non-primitive Lie algebras are given.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.