chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-1-213-224cheb-943Research ArticleСтатьиArticleПроективная геометрия над частично упорядоченными телами, IIThe projective geometry over partially ordered skew fields, IIМихалевАлександр ВасильевичMikhalevAlexander Vasilyevich

доктор физико-математических наук

doctor of physical and mathematical sciences

aamikhalev@mail.ruШиршоваЕлена ЕвгеньевнаShirshovaElena Evgenievna

профессор кафедры алгебры

professor of the department of algebra

shirshova.elena@gmail.comМосковский государственный университет им. М.В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationМосковский педагогический государственный университетРоссияMoscow Pedagogical State UniversityRussian Federation202106042021221213224Copyright © Михалев А.В., Ширшова Е.Е., 20212021Михалев А.В., Ширшова Е.Е.Mikhalev A.V., Shirshova E.E.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/943

В статье "Проективная геометрия над частично упорядоченными телами, II" продолжается исследование свойств частично упорядоченных линейных пространств над частично упорядоченными телами, начатое в части I <<Проективная геометрия над частично упорядоченными телами>>. Рассматриваются производные решетки, ассоциированных с частично упорядоченными линейными пространствами над частично упорядоченными телами. Более точно, исследуются свойства выпуклой проективной геометрии $${\cal L}$$ частично упорядоченного линейного пространства $${}_FV$$ над частично упорядоченным телом $$F$$. Под выпуклостью линейного подпространства  в линейном пространстве $${}_FV$$ понимается абелева выпуклость ( $$ab$$-выпуклость), опирающаяся на определение выпуклой подгруппы частично упорядоченной группы. Доказываются вторая и третья теоремы о порядковых изоморфизмах интерполяционных линейных пространств над частично упорядоченными телами. Получены некоторые результаты, касающиеся свойств главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами. Главным линейным подпространством $$I_a$$ частично упорядоченного линейного пространства $${}_FV$$ над частично упорядоченным телом $$F$$ является наименьшее $$ab$$-выпуклое направленное линейное подпространство линейного пространства $${}_FV$$, содержащее данный положительный элемент $$a\in V$$. Для главных линейных подпространств в интерполяционных линейных пространствах над направленными телами доказан аналог третьей теоремы о порядковых изоморфизмах пространств.

In this paper <<The projective geometry over partially ordered skew fields, II>> the investigation of properties for partially ordered linear spaces over partially ordered skew fields is prolonged. This investigation was started in part I <<The projective geometry over partially ordered skew fields>>. Derivative lattices associated partially ordered linear spaces over partially ordered skew fields are examined. More exactly, properties of the convex projective geometry $${\cal L}$$ of a partially ordered linear space $${}_FV$$ over a partially ordered skew field $$F$$ are considered. The convexity of linear subspaces has meaning the Abelian convexity ($$ab$$-convexity), which is based on the definition of a convex subgroup for a partially ordered group. Second and third theorems of linear spaces order isomorphisms for interpolation linear spaces over partially ordered skew fields are proved. Some theorems are proved for principal linear subspaces of interpolation linear spaces over directed skew fields. The principal linear subspace $$I_a$$ of a partially ordered linear space $${}_FV$$ over a partially ordered skew field $$F$$ is the smallest $$ab$$-convex directed linear subspace of linear space $${}_FV$$ which contains the positive element $$a\in V$$. The analog for the third theorem of linear spaces order isomorphisms for principal linear subspaces is demonstrated in interpolation linear spaces over directed skew fields

частично упорядоченное кольцочастично упорядоченное телоча- стично упорядоченное линейное пространствонаправленная группавыпуклая подгруппа.a partially ordered ringa partially ordered skew fielda partially ordered linear spacea directed groupa convex subgroupРабота выполнена при поддержке гранта Московского центра фундаментальной и прикладной математики МГУ "Структурная теория и комбинаторно-логические методы в теории алгебраических систем)ReferencesБиркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.Birkhoff, G. Lattice theory, 3rd ed., Amer. Math. Soc., Providence, 1967.Бэр Р. Линейная алгебра и проективная геометрия. М.: ИЛ, 1955.Baer, R. Linear algebra and projective geometry, Academic Press, New York, 1952.Канторович Л.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.Fuchs, L. Partially ordered algebraic systems, Pergamon Press, Oxford; Addison-Wesley, Reading, 1963.Копытов В. М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984.Jakubikov´a, M. 1971, “Konvexe gerichtete Untergruppen der Rieszschen Gruppen“, Mat. Casopis Sloven. Akad. Vied., vol. 21, no. 1, pp. 3-8.Михалев А. В., Ширшова Е. Е. Проективная геометрия над частично упорядоченными телами// Фундамент. и прикл. матем. 2020. Т. 23, № 2. C. 231-245.Kantorovitch, L. V. 1937, “Lineare halbgeordnete R˚aume“, Rec. Math. (Mat. Sbornik), vol. 2 (44), no. 1, pp. 121-168.Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.Kantorovich, L. V., Akilov, G.P. Functional analysis, 2nd ed., Pergamon Press, Oxford, 1982.Ширшова Е. Е. О свойствах гомоморфизмов групп Рисса// УМН. 1991. Т. 46, № 5 (281). С. 157-158.I. Kaplansky, Infinite Abelian groups, University of Michigan Press, Ann Arbor, 1954 (2nd ed., 1969).Ширшова Е. Е. Об обобщении понятия ортогональности и группах Рисса// Мат. заметки. 2001. Т. 69, № 1. С. 122-132.Kopytov, V. M. Lattice-ordered groups [in Russian], Nauka, Moscow, 1984.Ширшова Е. Е. О свойствах интерполяционных групп// Мат. заметки. 2013. Т. 93, № 2. С. 295-304.Ma, F. Algebraic structure of lattice-ordered rings, World Scientific, New Jersy, 2014.Ширшова Е. Е. О выпуклых подгруппах групп с интерполяционным условием// Фундамент. и прикл. матем. 2011/2012. Т. 17, № 7. С. 187-199.Mikhalev, A. V., Shirshova, E. E. 2020, “The projective geometry over partially ordered skew fields“, Fundam. Prikl. Mat. [in Russian], vol. 23, no. 2, pp. 231-245.Jakubikov´a M. Konvexe gerichtete Untergruppen der Rieszschen Gruppen// Mat. Casopis Sloven. Akad. Vied. 1971. Vol. 21, № 1. P. 3-8.Riesz, F. 1940, “Sur la th´eorie g´en´erale des op´erations lin´eaires“, Ann.Math., vol. 41, pp. 174-206.Kantorovitch L. V. Lineare halbgeordnete R˚aume // Матем. сб. 1937. Т. 2 (44), № 1. С. 121-168.Shirshova, E. E. 1991, “Properties of homomorphisms of Riesz groups“, Russian Math. Surveys, vol. 46, no. 5, pp. 201.Kaplansky. I. Infinite Abelian groups. Ann Arbor. The niversity of Michigan Press. 1954 (2nd ed., 1969).Shirshova, E. E. 2001, “On a generalization of the notion of orthogonality and on the Riesz groups“, Mathematical Notes, vol. 69, no. 1, pp. 107-115.Ma F. Algebraic structure of lattice-ordered rings. World Scientific. New Jersy, 2014.Shirshova, E. E. 2013, “On properties of interpolation groups“, Mathematical Notes, vol. 93, no. 2, pp. 324-331.Riesz F. Sur la th´eorie g´en´erale des op´erations lin´eaires// Ann.Math. 1940. Vol. 41. P. 174-206.Shirshova, E. E. 2014, “On convex subgroups of groups with the interpolation property“, J. Math. Sci., vol. 197, no. 4, pp. 573-581.Steinberg A. S. Lattice ordered rings and modules. Springer. 2010.Steinberg, A. S. Lattice ordered rings and modules, Springer, 2010.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.