кандидат физико-математических наук, доцент
candidate of physical and mathematical sciences, docent
Проблема разделимости дифференциальных операторов впервые рассмотрена в работах В. Н. Эверитта и М. Гирца. Дальнейшее развитие этой теории принадлежит К. Х. Бой-матову, М.Отелбаеву и их ученикам. Основная часть опубликованных работ по этой теории относится к линейным операторам. Нелинейный случай рассматривался в случае слабого возмущения линейного оператора. Случай, когда исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, рассмотрен лишь в некоторых отдельных работах. Полученные результаты в данной работе также относятся к этому малоизученному случаю. В работе исследованы коэрцитивные свойства нелинейного оператора Лапласа- Бельтрами в гильбертовом пространстве L2(R^n)
$$L[u]=-\frac{1}{\sqrt{det g(x)}}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\sqrt{det g(x)}g^{-1}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right]+V(x,u)u(x)$$, и на основе коэрцитивных оценок доказана его разделимость в этом пространстве. Исследуемый оператор не является слабым возмущением линейного оператора, т.е. является строго нелинейным. На основе полученных коэрцитивных оценок и разделимости изучалась разрешимость нелинейного уравнения Лапласа-Бельтрами в пространстве L2(R^n).
The problem of separability of differential operators is considered for the first time in the works of V. N. Everitt and M. Hirz. Further development of this theory belongs to K. H. Boymatov,M. Otelbaev and their students. The main part of the published papers on this theory relates to linear operators. The nonlinear case was considered mainly when studied operator was a weak perturbation of the linear one. The case when the operator under study is not a weak perturbation of the linear operator is considered only in some works. The results obtained in this paper also relate to this little-studied case. The paper studies the coercive properties of the nonlinear Laplace-Beltrami operator in the space L2(R^n) $$L[u]=-\frac{1}{\sqrt{det g(x)}}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\sqrt{det g(x)}g^{-1}(x)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right]+V(x,u)u(x)$$, and proves its separability in this space by coercivity estimates. The operator under study is not a weak perturbation of the linear operator, i.e. it is strongly nonlinear. Based on the obtainedcoercive estimates and separability, the solvability of the nonlinear Laplace-Beltrami equation in the space L2(R^n) is studied
The authors declare that there are no conflicts of interest present.