chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2021-22-1-67-75cheb-932Research ArticleСтатьиArticleЗамечание о теореме о среднем значении модуля L-функции Дирихле в критической полосеThe remark on the mean value theorem for the absolute value of Dirichlet L-function in the critical stripАрхиповаЛюдмила ГеннадьевнаArkhipovaLyudmila Gennad’evna

кандидат физико-математических наук

сandidate of physical and mathematical sciences

arhipova@mi-ras.ruЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор

doctor of physical and mathematical sciences, professor

chubarik2009@live.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияM. V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation2021060420212216775Copyright © Архипова Л.Г., Чубариков В.Н., 20212021Архипова Л.Г., Чубариков В.Н.Arkhipova L.G., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/932

В статье продолжены исследования по обобщению и уточнению результата Р. Т. Турганалиева по выводу асимптотической формулы для среднего значения дзета-функции Римана в критической полосе с остаточным членом, имеющим степенное понижение. Нами найдена асимптотика среднего значения L-функции Дирихле в критической полосе, которая уточняет теорему Р. Т. Турганалиева о дзета-функции при всех значениях действительной части $$(1/2 < Re 𝑠 ≤ 1)$$. Этот результат получен за счет другого использования оценок тригонометрических сумм на основе второй производной в экспоненте

We continue our researches concerning the generalization and improvement of R.T.Turganaliev’s result that states an asymptotic formula for the mean value of the Riemann zeta function in the critical strip with power factor saving in the remainder term.We find an asymptotic for the mean value of Dirichlet L-function in the critical strip. This assertion improves R.T.Turganaliev’s theorem for zeta-function in the whole interval $$(1/2 < Re 𝑠 ≤ 1)$$. Our result is based on the special use of the estimation of exponential sums by second derivative test.

характеры Дирихлефункции Дирихледзетовая суммаскрученная с характером ДирихлеDirichlet’s charactersDirichlet’s functionsthe zeta-sum twisted together with the Dirichlet’s characterReferencesВиноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Физматлит. 1976, 120 с.Vinogradov I. M. 1976, “Special variants of the method of trigonometric sums” - - - M.: Fizmatlit. 120 p.Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. 2-е изд., исправленное и дополненное — М.: Физматлит. 1980, 144 с.Vinogradov I. M. 1980, “The method of trigonometric sums in number theory. 2nd ed., corrected and supplemented” - - - M.: Fizmatlit. 144 p.van der Corput J. G. Zahlentheoretische Absch¨atzungen// Math. Ann., 1921, 84, 53–79.van der Corput J. G. 1921, “Zahlentheoretische Absch¨atzungen”// Math. Ann., 84, pp. 53–79.van der Corput J. G. Versch¨arfung der Absch¨atzung beim Teilerproblem// Math. Ann., 1922, 87, 39–65.van der Corput J. G. 1922, “Versch¨arfung der Absch¨atzung beim Teilerproblem”// Math. Ann., 87, pp. 39–65.Ingham A. E. Mean-value theorems and the Riemann zeta-function// Quart. J. Math., 1933, 4, 278–290.Ingham A. E. 1933, “Mean-value theorems and the Riemann zeta-function”// Quart. J. Math., 4, pp. 278–290.Davenport H. Note on mean-value theorems for the Riemann zeta-function// J. Lond. Math. Soc., 1935, 10, 136–138.Davenport H. 1935, “Note on mean-value theorems for the Riemann zeta-function”// J. Lond. Math. Soc., 10, pp. 136–138.Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: ИЛ. 1953.Titchmarsh E. K. 1953, “Theory of the Riemann zeta function” - - - Moscow: ILL.ТурганалиевР.Т. Асимптотическая формула для средних значений дробной степени дзета-функции Римана// Труды Матем. ин-та АН СССР, 1981, 158, 203–226.Turganaliev R. T. 1981, “An asymptotic formula for the average values of the fractional power of the Riemann zeta function”// Works of Math. in-ta AN SSSR, 158, pp. 203–226.Виноградов И. М. Новая оценка функции $$zeta(1+it)$$// Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, 22, № 2, 161–164.Vinogradov I. M. 1958, “A new estimate of the $$\zeta$$ function $$(1+𝑘)$$” // Izv. AN SSSR, ser.math., 22, № 2, pp. 161–164.Коробов Н. М. О нулях функции $$zeta(𝑠)$$// Докл. АН СССР, 1958, 118, 231–232.Korobov N. M. 1958,“ On the zeros of the function $$\zeta(𝑠)$$” // Dokl. USSR Academy of Sciences,Коробов Н. М. Оценки тригонометрических сумм и их приложения// Усп. матем. наук, 1958, 13, вып.4, 185–192., pp. 231–232.Richert H.-E.Zur Absch¨atzung der Riemannschen Zeta-funktion in der Nahe der Vertikalen $$sigma=1$$// Math.Ann., 1967, 169, № 2, 97–101.Korobov, N., M. 1958, “Estimates of trigonometric sums and their applications.nauk”, 13, no. 4, pp. 185–192.Карацуба А.А. Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их приложения// Тр. МИАН СССР, 1971, 112, 241–255.Richert H.-E. 1967, “Zur Absch¨atzung der Riemannschen Zeta-funktion in der Nahe der Vertikalen $$\sigma=1$$” // Math.Ann., 169, no. 2, pp. 97–101.Arkhipov G., Buriev K. Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neibourhood of the line $$Re(𝑠) = 1$$// Integral Transforms and Special Functions, 1993, v.1, № 1, 1–7.Karatsuba A. A. 1971, “Estimates of trigonometric sums by the method of I. M. Vinogradov and their applications” // Tr. MIAN USSR, 112, pp. 241–255.Дэвенпорт Г. Мультипликатиная теория чисел. — М.: Физматлит. 1971, 200 с.Arkhipov G., Buriev K. 1993, “Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neibourhood of the line $$Re(𝑠) = 1$$” // Integral Transforms and Special Functions, vol.1, no. 1,Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана — М.: Физматлит. 1994, 376 с.pp, 1–7.Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел — М.: Наука, 1983, 240 с.Davenport G. 1971, “Multiplicative number theory” - - - M.: Fizmatlit. 200 p. 16. Voronin S. M., Karatsuba A. A. 1994, “The Riemann zeta function” - - - M.: Fizmatlit. 376 p.Popov O. V. On Hadamard’s method concerning zeros of the Riemann zeta-function// IntegralKaratsuba A. A. 1983, “Fundamentals of analytical number theory” - - - Moscow: Nauka, 240 p.Transforms and Special Functions, 1993, v.1, № 2, pp.143–144.Popov O. V. 1993, “On Hadamard’s method concerning zeros of the Riemann zeta-function” // Integral Transforms and Special Functions, vol.1, no. 2, pp. 143–144.Попов О. В. Вывод современной границы нулей дзета-функции Римана по методу Адамара// Вестник МГУ, сер. 1,мат.,мех., 1994, № 1, 51–54.Попов О. В. Вывод современной границы нулей дзета-функции Римана по методу Адамара// Вестник МГУ, сер. 1,мат.,мех., 1994, № 1, 51–54.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.