доктор физико-математических наук, профессор
doctor of physical and mathematical sciences, professor
В основе работы лежит формула бинома Ньютона и её обобщения на последовательности многочленов биномиального типа. Даны применения к обобщённой проблеме Варинга (Хуа Ло-кен) и проблеме Гильберта – Камке (Г.И.Архипов). Доказана формула Тейлора – Маклорена для многочленов и гладких функций и даны её приложения в численном анализе (решение уравнений методом касательных Ньютона, лемма Гензеля в полныхнеархимедовских полях, приближенное вычисление значений гладких функций в точке). Даётся аналог формулы бинома Ньютона для многочленов Бернулли и доказывается формула Эйлера — Маклорена суммирования значений функции по целым точкам, выведена формула Пуассона суммирования значений функции. Рассмотрены примеры последовательностей многочленов биномиального типа (степени, нижние и верхние факториальныестепени, многочлены Абеля и Лагерра). Найдены биномиальные свойства многочленов Аппеля и Эйлера. Для многочленов и гладких функций от нескольких переменных доказана формула Тейлора, получены многомерные аналоги формул Эйлера – Маклорена и Пуассона суммирования значений функции по решётке. Рассмотрен многомерный аналог этих формул для решётки в многомерном комплексном пространстве. Доказаны ряд свойствпоследовательности многочленов биномиального типа от нескольких переменных.
The paper is based on the Binomial theorem and its generalizations to the polynomials ofbinomial type. Thus, we give some applications to the generalized Waring problemm (Loo-KengHua) and Hilbert-Kamke problem (G.I.Arkhipov). We also prove Taylor-Maclaurin formulafor the polynomials and smooth functions and give its applications to the numerical analysis(Newton’s root-finding algorithm, Hensel lemma in full non-archimedian fields, approximateevaluaion of the function at given point). Next, we prove an analogue of Binomial theoremfor Bernoulli polynomials, Euler-Maclaurin summation formula over integers and Poissonsummation formula for the lattice and consider some examples of binomial-type polynomials(monomials, rising and falling factorials, Abel and Laguerre polynomials). We prove somebinomial properties op Appel and Euler polynomials and establish the multidimensional Taylorformula and the analogues of Euler-Maclaurin and Poisson summation formulas over the lattices.Finally, we consider the multidimensional analogues of these formulas for the multidimensionalcomplex space and prove some properties of binomial-type polynomials of several variables.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.