chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2016-17-1-117-129cheb-9Research ArticleСтатьиArticleО ЦЕЛЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЛАХ И УНИТАРНЫХ МНОГОЧЛЕНАХ ВТОРОЙ СТЕПЕНИON ALGEBRAIC INTEGERS AND MONIC POLYNOMIALS OF SECOND DEGREEКоледаД. В.KoledaD. V.

младший научный сотрудник, Институт математики Национальной академии наук Беларуси

junior researcher

koledad@rambler.ruИнститут математики НАН БеларусиРоссияInstitute of Mathematics of the National Academy of Sciences of BelarusRussian Federation201603052016171117129Copyright © Коледа Д.В., 20162016Коледа Д.В.Koleda D.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/9

В статье рассматриваются алгебраические целые числа второй степени и приводимые квадратичные унитарные многочлены с целыми коэффициентами. Пусть Q > 4 — целое число. Пусть Ωn(Q, S) — количество целых алгебраических чисел степени n и высоты 6 Q, принадлежащих множеству S ⊆ R. В работе уточнён остаточный член в асимптотической формуле для Ω2(Q, I), где I — произвольный отрезок. Обозначим через R(Q) множество приводимых унитарных многочленов второй степени с целыми коэффициентами и высотой 6 Q. Получена формула #R(Q) = 2 XQ k=1 τ (k) + 2Q + hp Q i − 1, где τ (k) — количество делителей числа k. Показано также, что количество вещественных целых алгебраических чисел второй степени и высоты 6 Q имеет асимптотику Ω2(Q,R) = 8Q2 − 16 3 Q p Q − 4QlnQ + 8(1 − γ)Q + O  p Q  , где γ — постоянная Эйлера. Известно, что функция плотности распределения алгебраических целых степени n равномерно стремится к плотности алгебраических чисел степени n−1. Мы показываем, что при n = 2 интеграл от их разности имеет ненулевой предел при стремлении высоты чисел к бесконечности.

In this paper we consider the algebraic integers of second degree and reducible quadratic monic polynomials with integer coefficients. Let Q > 4 be an integer. Define Ωn(Q, S) to be the number of algebraic integers of degree n and height 6 Q belonging to S ⊆ R. We improve the remainder term of the asymptotic formula for Ω2(Q, I), where I is an arbitrary interval.  Denote by R(Q) the set of reducible monic polynomials of second degree with integer coefficients and height 6 Q. We obtain the formula #R(Q) = 2 XQ k=1 τ (k) + 2Q + hp Q i − 1, where τ (k) is the number of divisors of k. Besides we show that the number of real algebraic integers of second degree and height 6 Q has the asymptotics Ω2(Q,R) = 8Q2 −16 3 Q p Q − 4QlnQ + 8(1 − γ)Q + O p Q , where γ is the Euler constant. It is known that the density function of the distribution of algebraic integers of degree n uniformly tends to the density function of algebraic numbers of degree n−1. We show that for n = 2 the integral of their difference over the real line has nonzero limit as height of numbers tends to infinity.

целые алгебраические числараспределение алгебраических целыхквадратичные иррациональностицелочисленные унитарные многочленыalgebraic integersdistribution of algebraic integersquadratic irrationalitiesintegral monic polynomialsReferencesBarroero F. Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height // Monatshefte f¨ur Mathematik. 2014. Vol. 175, No. 1. P 25–41.Barroero, F. (2014). “Counting algebraic integers of fixed degree and bounded height”, Monatshefte f¨ur Mathematik, vol. 175, no. 1, pp. 25–41.Brown H., and Mahler K. A generalization of Farey sequences: Some exploration via the computer // J. Number Theory. 1971. Vol. 3, No. 3. P. 364–370.Brown, H. & Mahler, K. (1971). “A generalization of Farey sequences: Some exploration via the computer”, J. Number Theory, vol. 3, no. 3, pp. 364–370.Chandrasekharan K. Arithmetical functions, volume 167 of Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970.Chandrasekharan, K. (1970). “Arithmetical functions”, vol. 167 of Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.Chela R. Reducible polynomials // J. London Math. Soc. 1963. Vol. 38, No. 1. P. 183–188.Chela, R. (1963). “Reducible polynomials”, J. London Math. Soc., vol. 38, no. 1, pp. 183–188.Chern S.-J., and Vaaler J. D. The distribution of values of Mahler’s measure // J. Reine Angew. Math. 2001. Vol. 540. P. 1–47.Chern, S.-J. & Vaaler, J. D. (2001). “The distribution of values of Mahler’s measure”, J. Reine Angew. Math., vol. 540, pp. 1–47.Cobeli C., and Zaharescu A. The Haros-Farey sequence at two hundred years // Acta Univ. Apulensis Math. Inform. 2003. Vol. 5. P. 1–38.Cobeli, C. & Zaharescu, A. (2003). “The Haros-Farey sequence at two hundred years”, Acta Univ. Apulensis Math. Inform., vol. 5, pp. 1–38.Davenport H. On a principle of Lipschitz // J. London Math. Soc. 1951. Vol. 26. P. 179–183.Davenport, H. (1951). “On a principle of Lipschitz”, J. London Math. Soc, vol. 26, pp. 179–183. Davenport, H. (1964). Corrigendum: “On a principle of Lipschitz”, J. London Math. Soc., vol. 39, p. 580.Davenport H. Corrigendum: “On a principle of Lipschitz” // J. London Math. Soc. 1964. Vol. 39. P. 580.Hardy, G. H. (1916). “On Dirichlet’s divisor problem”, Proc. London Math. Soc. (2), vol. 15, pp. 1–25.Hardy G. H. On Dirichlet’s divisor problem // Proc. London Math. Soc. (2). 1916. Vol. 15. P. 1–25.Huxley, M. N. (2003). “Exponential sums and lattice points. III”, Proc. London Math. Soc. (3), vol. 87, no. 3, pp. 591–609.Huxley M. N. Exponential sums and lattice points. III // Proc. London Math. Soc. (3). 2003. Vol. 87, No. 3. P. 591–609.Koleda, D. V. (2014a). “On the density function of the distribution of real algebraic numbers”, arXiv preprint, arXiv:1405.1627.Koleda D. V. On the density function of the distribution of real algebraic numbers // arXiv preprint. 2014. arXiv:1405.1627.Koleda, D. V. (2014b). “The distribution of algebraic integers of given degree on the real line”, arXiv preprint, arXiv:1407.2861.Koleda D. V. The distribution of algebraic integers of given degree on the real line // arXiv preprint. 2014. arXiv:1407.2861.Montgomery, H. L. & Vaughan, R. C. (2007). “Multiplicative number theory. I. Classical theory”, vol. 97 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge.Montgomery H. L., and Vaughan R. C. Multiplicative number theory. I. Classical theory, volume 97 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 2007.Vorono¨ı, G. (1904). “Sur une fonction transcendante et ses applications `a la sommation de quelques s´eries”, Ann. Sci. ´ Ecole Norm. Sup. (3), vol. 21, pp. 207–267 & 459–533.Vorono¨ı G. Sur une fonction transcendante et ses applications `a la sommation de quelques s´eries // Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. (3). 1904. Vol. 21. P. 207–267, 459–533.Kaliada, D. U. (2012). “Distribution of real algebraic numbers of a given degree”, Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, vol. 56, no. 3, pp. 28–33. (In Belarusian.)Каляда Д. У. Аб размеркаваннi рэчаiсных алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi // Доклады НАН Беларуси. 2012. Т. 56, № 3. С. 28–33.Kaliada, D. U. (2015). “Distribution of algebraic integers of a given degree in the real line”, Dokl. Nats. Akad. Nauk Belarusi, vol. 59, no. 1, pp. 18–22. (In Belarusian.)Каляда Д. У. Размеркаванне цэлых алгебраiчных лiкаў дадзенай ступенi на рэчаiснай прамой // Доклады НАН Беларуси. 2015. Т. 59, № 1. С. 18–22.Koleda, D. V. (2013). “Distribution of real algebraic numbers of the second degree”, Vestsi NAN Belarusi. Ser. fiz.-mat. navuk, no. 3, pp. 54–63. (In Russian.)Коледа Д. В. Распределение алгебраических чисел второй степени // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2013. № 3. С. 54–63.Koleda, D. V. (2015). “On the asymptotic distribution of algebraic numbers with growing naive height”, Chebyshevskii Sb., vol. 16, no. 1, pp. 191–204. (In Russian.)Коледа Д. В. Об асимптотике распределения алгебраических чисел при возрастании их высот // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, № 1. С. 191–204.Коледа Д. В. Об асимптотике распределения алгебраических чисел при возрастании их высот // Чебышевский сб. 2015. Т. 16, № 1. С. 191–204.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.