Московский технический университет связи и информатики
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor
кандидат физико-математических наук, доцент
PhD in Physics and Mathematics, Assistant professor
В работе доказывается сильная компактность последовательности $\{\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$,$\Omega_{T}=\Omega\times(0,T)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$, ограниченную в пространстве $\mathbb{W}^{1,0}_{2}(\Omega_{T})$ с последовательностью производных по времени$\left\{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\big(\chi(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon})\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\big) \right\}$ ограниченной в пространстве $\mathbb{L}_{2}\big((0,T);\mathbb{W}^{-1}_{2}(\Omega)\big)$,где характеристическая функция $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ есть 1-периодическая в $\displaystyle \boldsymbol{y}\in Y=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)^{3}\subset \mathbb{R}^{3}$.
В качестве приложения рассмотрим усреднение уравнения диффузии-конвекции в непериодической структуре, заданной 1-периодической в $\boldsymbol{y}$ характеристической функцией $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ с последовательностью бездивергентных скоростей $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$, слабо сходящейся в $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$.
The paper proves the strong compactness of the sequence $\{\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ in $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$,$\Omega_{T}=\Omega\times(0,\\T)$, $\Omega\subset \mathbb{R}^{3}$, bounded in the space $\mathbb{W}^{1,0}_{2}(\Omega_{T})$ withthe sequence of time derivatives$\Big\{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\big(\chi(\boldsymbol{x},t,\frac{\boldsymbol{x}}{\varepsilon})\Big.$$\Big.\tilde{c}^{\,\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\big) \Big\}$ bounded in the space $\mathbb{L}_{2}\big((0,T);\mathbb{W}^{-1}_{2}(\Omega)\big)$,where characteristic function $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ is 1-periodic in a variable $\displaystyle \boldsymbol{y}\in Y= \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)^{3}\subset \mathbb{R}^{3}$.
As an application we consider the homogenization of a diffusion-convection equation in non-periodic structure, given by 1-periodic in $\boldsymbol{y}$ characteristic function $\chi(\boldsymbol{x},t,\boldsymbol{y})$ with a sequence of divergent-free velocities $\{\boldsymbol{v}^{\varepsilon}(\boldsymbol{x},t)\}$ weakly convergent in $\mathbb{L}_{2}(\Omega_{T})$.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.