доктор физико-математических наук, профессор
Doctor of physical and mathematical sciences, professor
В пространствах с весом Данкля степенного типа на $\mathbb{R}^d$ за последние 30 лет построен содержательный гармонический анализ. Классический анализ Фурье на евклидовом пространстве соответствует безвесовому случаю. В гармоническом анализе Данкля важную роль играют преобразования Данкля--Рисса и потенциал Данкля--Рисса, определенные Тангавелу и Шу. В частности, они позволяют доказывать неравенства Соболева для градиента Данкля. Частные результаты здесь были получены Амри и Сифи, Абделькефи и Рачди, Велику. Опираясь на весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса и преобразований Данкля--Рисса, мы доказываем общие $(L^q,L^p)$-неравенства Соболева для градиента Данкля с радиальными степенными весами. Весовые неравенства для потенциала Данкля--Рисса были установлены ранее. $L^p$-неравенства для преобразований Данкля--Рисса с радиальным степенным весом устанавливаются в настоящей работе. Безвесовой вариант этих неравенств был доказан Амри и Сифи.
Over the past 30 years a meaningful harmonic analysis has been construc\-ted in the spaces with Dunkl weights of power type on $\mathbb{R}^d$. The classical Fourier analysis on Euclidean space corresponds to the weightless case. The Dunkl--Riesz potential and the Dunkl--Riesz transforms defined by Thangavelu and Xu play an important role in the Dunkl harmonic analysis.In particular, they allow one to prove the Sobolev inequalities for the Dunkl gradient. Particular results were obtained here by Amri and Sifi, Abdelkefi and Rachdi, Veliku. Based on the weighted inequalities for the Dunkl--Riesz potential and the Dunkl--Riesz transforms, we prove the general $(L^q,L^p)$ Sobolev inequalities for the Dunkl gradient with radial power weights. The weighted inequalities for the Dunkl--Riesz potential were established earlier.The $L^p$-inequalities for the Dunkl--Riesz transforms with radial power weights are established in this paper. A weightless version of these inequalities was proved by Amri and Sifi.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.