доктор физико-математических наук
Doctor of physical and mathematical sciences
аспирант
Graduate student
Пусть $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in
[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ --- константа Никольского между
равномерной и интегральной нормами для алгебраических полиномов с комплексными
коэффициентами степени не выше $n$. D. Amir и Z. Ziegler (1976) доказали, что
$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ для $n\ge 0$. Аналогичная оценка
сверху получена T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev и S. Tikhonov (2019--2020)
уточнили этот результат, установив, что $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$ при $n\to
\infty$, где $M\in (0.141,0.192)$ --- точная константа Никольского для целых
функций экспоненциального сферического типа в пространстве
$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ и функций экспоненциального типа в $L^{1}(\mathbb{R})$
с весом $|x|$.
Мы доказываем, что для произвольного $n\ge 0$ имеем $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le
M(n+2)^{2}$, где $M\in (0.1410,0.1411)$. Данное утверждение также позволяет
уточнить точную константу Джексона--Никольского для полиномов на евклидовой
сфере $\mathbb{S}^{2}$. Доказательство базируется на взаимосвязи алгебраических
констант Никольского с тригонометрическими константами Бернштейна--Никольского
и наших результатах об оценках последних (2018--2019). Также мы применяем
характеризацию экстремального алгебраического полинома, полученную D. Amir и
Z. Ziegler (1976), В.В. Арестовым и М.В. Дейкаловой (2015). С помощью этой
характеризации мы составляем тригонометрическую систему для определения нулей
экстремального полинома, которую решаем приближенно с необходимой точностью с
помощью метода Ньютона.
Let $M_{n}=\sup_{P\in \mathcal{P}_{n}\setminus \{0\}} \frac{\max_{x\in
[-1,1]}|P(x)|}{\int_{-1}^{1}|P(x)|\,dx}$ be the Nikol'skii constant between the
uniform and integral norms for algebraic polynomials with complex coefficients
of degree at most $n$. D. Amir and Z. Ziegler (1976) proved that
$0.125(n+1)^{2}\le M_{n}\le 0.5(n+1)^{2}$ for $n\ge 0$. The same upper bound
was obtained by T.K. Ho (1976). F. Dai, D. Gorbachev, and S. Tikhonov
(2019--2020) refined this result by establishing that $M_{n}=Mn^{2}+o(n^{2})$
for $n\to \infty$, where $M\in (0.141,0.192)$ is the sharp Nikol'skii constant
for entire functions of exponential spherical type in the space
$L^{1}(\mathbb{R}^{2})$ and functions of exponential type in
$L^{1}(\mathbb{R})$ with weight $|x|$.
We prove that for arbitrary $n\ge 0$ one has $M(n+1)^{2}\le M_{n}\le
M(n+2)^{2}$, where $M\in (0.1410,0.1411)$. This statement also allows us to
refine the exact Jackson--Nikol'skii constant for polynomials on the Euclidean
sphere $\mathbb{S}^{2}$. The proof is based on the relationship between the
algebraic Nikol'skii constants and the Bernstein--Nikol'skii trigonometric
constants and our estimates of these constants (2018--2019). We also apply the
characterization of the extremal algebraic polynomial obtained by D. Amir and
Z. Ziegler (1976), V.V. Arestov and M.V. Deikalova (2015). Using this
characterization, we compose a trigonometric system for determining the zeros
of an extremal polynomial, which we solve approximately with the required
accuracy using Newton's method.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.