доктор физико-математических наук
Doctor of physical and mathematical sciences
аспирант
Graduate student
Мы изучаем точное неравенство Маркова--Бернштейна--Никольского вида
$\|D^{s}u\|_{\infty}\le \\C_{p}(n;s)\|u\|_{p}$ при $p\in [1,\infty]$ для
тригонометрических и алгебраических полиномов $u$ степени не выше $n$ в весовом
пространстве $L^{p}$ с дифференциальным оператором Гегенбауэра--Данкля $D$. В
частных случаях эти неравенства сводятся к классическим неравенствам теории
приближений типа Маркова, Бернштейна, Никольского, которым посвящены
многочисленные работы. Мы применяем результаты В.А. Иванова (1983, 1992),
В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev и
S.Yu. Tikhonov (2020) для алгебраических констант в $L^{p}$ на компактных
римановых многообразий ранга 1 (включая евклидову сферу) и отрезке с весом
Гегенбаура, ссылаемся на работы E. Levin и D. Lubinsky (2015), M.I. Ganzburg
(2017, 2020), обзор классических результатов G.V. Milovanovi'c,
D.S. Mitrinovi\'c и Th.M. Rassias (1994).
Ранее мы изучили случай $s=0$. В этой работы мы рассматриваем случай $s\ge 0$.
Наш основной результат заключается в доказательстве существования в
тригонометрическом случае для чётных $s=2r$ экстремальных полиномов $u_{*}$, которые
действительные, четные и $C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$.
С помощью этого факта доказывается взаимосвязь с алгебраической константой для
веса Гегенбауэра. С одной стороны, это позволяет автоматически охарактеризовать
экстремальные алгебраические полиномы. С другой стороны, известные
алгебраические результаты переносятся на более общий тригонометрический
вариант. Основным методом доказательства является применение гармонического
анализа Гегенбауэра--Данкля, построенного Д.В. Чертовой (2009). Как следствие,
мы приводим точные константы при $p=2,\,\infty$ (при помощи результатов
В.А. Иванова), даем соотношения ортогональности и двойственности (доказываемые
методами выпуклого анализа из теории приближений), устанавливаем один
асимптотический результат типа Левина--Любинского (благодаря связи с
многомерной константой Никольского для сферических полиномов).
We study the sharp Markov--Bernstein--Nikol'skii inequality of the form
$\|D^{s}u\|_{\infty}\!\le C_{p}(n;s)\times\\\times\|u\|_{p}$, $p\in [1,\infty]$ for
trigonometric and algebraic polynomials $u$ of degree at most $n$ in the
weighted space $L^{p}$ with the Gegenbauer--Dunkl differential operator $D$. In
particular cases, these inequalities are reduced to the classical inequalities
of approximation theory of the Markov, Bernstein, and Nikol'skii type, to which
numerous papers are devoted. We apply the results of V.A. Ivanov (1983, 1992),
V.V. Arestov and M.V. Deikalova (2013, 2015), F. Dai, D.V. Gorbachev and
S.Yu. Tikhonov (2020) for algebraic constants in $L^{p}$ on compact Riemannian
manifolds of rank 1 (including the Euclidean sphere) and an interval with
Gegenbauer weight, refer to the works of E. Levin and D. Lubinsky (2015),
M.I. Ganzburg (2017, 2020), a review of the classic results of
G.V. Milovanovi\'c, D.S. Mitrinovi\'c and Th.M. Rassias (1994).
Earlier we studied the case $s=0$. In this paper, we consider the case $s\ge
0$. Our main result is to prove the existence in the trigonometric case for even $s=2r$ of
extremal polynomials $u_{*}$ that are real, even, and
$C(n;s)=\frac{|D^{s}u_{*}(0)|}{\|u_{*}\|_{p}}$. With the help of this fact, the
relationship with the algebraic constant for the Gegenbauer weight is proved.
On the one hand, this relationship allows to automatically characterize
extremal algebraic polynomials. On the other hand, well-known algebraic results
carry over to a more general trigonometric version. The main method of proof is
the application of the Gegenbauer--Dunkl harmonic analysis constructed by
D.V. Chertova (2009). As a consequence, we give the explicit constants for
$p=2,\,\infty$ (using the results of V.A. Ivanov), we give the relations of
orthogonality and duality (proved by methods of convex analysis from
approximation theory), we establish one asymptotic result of the
Levin--Lubinsky type (due to the connection with the multidimensional
Nikol'skii constant for spherical polynomials).
The authors declare that there are no conflicts of interest present.