chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2020-21-3-306-316cheb-869Research ArticleИстория математики и приложенийСomputer scienceСпектральный элемент Лежандра в задачах локализации пластических деформацийLegendre spectral element for plastic localization problems at large scale strainsЛевинВладимир АнатольевичLevinVladimir Anatolyevich

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной механики механико-математического факультета

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, Professor of the department of computational mechanics of the faculty of mechanics and mathematics

v.a.levin@mail.ruЗингерманКонстантин МоисеевичZingermanKonstasntin Moiseevich

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математического моделирования и вычислительной математики

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of chair of mathematical modeling and computational mathematics

zingerman@rambler.ruКрапивинКирилл ЮрьевичKrapivinKirill Yurievichk.krapivin@gmail.comЯковлевМаксим ЯковлевичYakovlevMaksim Yakovlevich

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики механико-математического факультета

candidate of physical and mathematical sciences, Associate Professor of the Department of Computational Mathematics of the Faculty of Mechanics and Mathematics

m.ya.yakovlev@yandex.ruМосковский государственный университет им. М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian FederationТверской государственный университетРоссияTver State UniversityRussian FederationООО «Фидесис»РоссияCAE FidesysRussian FederationМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияLomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202028122020213306316Copyright © Левин В.А., Зингерман К.М., Крапивин К.Ю., Яковлев М.Я., 20202020Левин В.А., Зингерман К.М., Крапивин К.Ю., Яковлев М.Я.Levin V.A., Zingerman K.M., Krapivin K.Y., Yakovlev M.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/869

В статье предложен метод спектральных элементов, построенных на полиноме Лежанд-ра для плоских стационарных задач упруго-пластического течения при больших дефор-мациях. Метод спектральных элементов основывается на вариационном принципе, методеГалеркина. Решение указанных задач обладает феноменом локализации пластических де-формаций в узких областях - линиях скольжения. Исследована возможность примененияспектрального элемента для численного решения указанных задач с разрывными решения-ми. Условие текучести материала - критерий Мизеса. Напряжения интегрируются методомрадиального возврата по неявной обратной схеме Эйлера. Система нелинейных алгебраи-ческих уравнений решается итерационным методом Ньютона. Приведено численное реше-ние примера растяжения полосы, ослабленной вырезами с круговым основанием, в плоскомнапряженном и плоском деформированном состояниях. Получены кинематические поля ипредельная нагрузка. Приведены сравнения численных результатов с аналитическим ре-шением, полученным для несжимаемых сред, построенным методом характеристик.

In paper the method of spectral elements based on the Legendre polynomial for timeindependentelastic-plastic plane problems at large strains is proposed. The method of spectralelements is based on the variational principle (Galerkin’s method). The solution of theseproblems has the phenomenon of localization of plastic deformations in narrow areas calledslip-line or shear band. The possibility of using a spectral element for the numerical solution ofthese problems with discontinuous solutions is investigated. The yield condition of the materialis the von Mises criterion. The stresses are integrated by the radial return method by backwardimplicit Euler scheme. The system of nonlinear algebraic equations is solved by the Newton’siterative method. A numerical solution is given of an example of stretching a strip weakened bycuts with a circular base in a plane stress and plane deformed state. Kinematic fields and limitload are obtained. Comparisons of numerical results with the analytical solution obtained forincompressible media constructed by the method of characteristics are presented.

спектральный элементфеномен локализациипластичностьметод характеристикконечные деформацииитерационный метод Ньютонаspectral methodlocalization phenomenonplasticityslip-linefinite strainsiterative Newton’s methodРабота выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской федерации в рамках базовой части Государственного задания по научной деятельности (проект № 9.7446.2017/8.9) в части, связанной с математической постановкой задачи, при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Москвы в рамках научного проекта № 19-38-70001 в части, связанной с разработкой математического метода и алгорит- ма решения задачи, и за счет гранта Российского научного фонда (проект № 19-71-10008) в части, связанной с разработкой и верификацией программного обеспечения и анализом результатов расчетов.This work was supported by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation in the framework of the basic part of the Government task for scientific activity (project No. 9.7446.2017 / 8.9) in the part related to the mathematical formulation of the problem, with financial support from the Russian Foundation of Basic Research and the Moscow Government (project No. 19-38-70001) in the part related to the development of the mathematical method and algorithm for problem solving, with financial support from the Russian Science Foundation (project No. 19-71-10008) in the part related to development and verification of software and analysis of calculation results.References{it Качанов Л. М. /} Основы теории пластичности. 1969. Наука, Москва. 420 стр.{\it Kachanov L. M. \/} Foundations of the theory of plasticity. Amsterdam:{it Ишлинский А.,Ю., Ивлев Д.,Д. /}North-Holland, 1971. 482 p.Математическая теория пластичности. Физматлит, Москва, 2001. 704 стр.{\it Ishlinskii A.\,Yu., Ivlev D.\,D. \/}{it Соколовский В.,В. /}Mathematical Theory of Plasticity (in Russian). Fizmatlit, Moscow, 2001. 704 p.Теория пластичности, 3-е изд. 1969. Наука, Москва. 608 стр.{\it Sokolovsky W.\,W. \/}Rice J.,R. The Localization of Plastic Deformation. ProceedingsTheory of Plasticity (in Russian), 3rd ed. 1969. Nauka, Moscow. 608 p.of the 14th International Congress on Theoretical and AppliedRice J.\,R. The Localization of Plastic Deformation. ProceedingsMechanics. W.T. Koiter. NorthHolland Publishing Co. 1976. Vol. 1.of the 14th International Congress on Theoretical and AppliedP. 207-220.Mechanics. W.T. Koiter. NorthHolland Publishing Co. 1976. Vol. 1.Tvergaard V., Needleman A., Lo K.,K. Flow localization in theP. 207-220.plane strain tensile test. Journal of the Mechanics and Physics ofTvergaard V., Needleman A., Lo K.\,K. Flow localization in theSolids. 1981. Vol. 29. Issue 2. P. 115-142.plane strain tensile test. Journal of the Mechanics and Physics ofNeedleman A., Rice J.,R. Limits to ductility set by plastic flowSolids. 1981. Vol. 29. Issue 2. P. 115-142.localization. Mechanics of Sheet Metal Forming. 1978. P. 237-264.Needleman A., Rice J.\,R. Limits to ductility set by plastic flowHill R., Hutchinson J.,W. Bifurcation phenomena in the planelocalization. Mechanics of Sheet Metal Forming. 1978. P. 237-264.tension test. J. Mech. Phys. Solids. 1975. Vol. 23. P. 239-264.Hill R., Hutchinson J.\,W. Bifurcation phenomena in the planeLee E.,H. Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains. Journaltension test. J. Mech. Phys. Solids. 1975. Vol. 23. P. 239-264.of Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. Issue 1. P. 1-6.Lee E.\,H. Elastic-Plastic Deformation at Finite Strains. JournalMandel, J. Contribution theorique a l'etude de l'ecrouissage etof Applied Mechanics. 1969. Vol. 36. Issue 1. P. 1-6.des lois de l'ecoulement plastique. Proceedings of the 11thMandel, J. Contribution theorique a l'etude de l'ecrouissage etInternational Congress on Applied Mechanics. 1966. P. 502-509.des lois de l'ecoulement plastique. Proceedings of the 11thSimo J.,C., Hughes T.,J.,R. Computational Inelasticity, Vol. 7.International Congress on Applied Mechanics. 1966. P. 502-509.Springer Verlag. New York. 392 p.Simo J.\,C., Hughes T.\,J.\,R. Computational Inelasticity, Vol. 7.{it Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Fox D.D. /} The finite element methodSpringer Verlag. New York. 392 p.for solid and structural mechanics. Seventh Edition. Elsevier,{\it Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Fox D.D. \/} The finite element methodfor solid and structural mechanics. Seventh Edition. Elsevier,2014for solid and structural mechanics. Seventh Edition. Elsevier,2014{it Лурье А. И. /} Нелинейная теория упругости. Москва: Наука, 1980. -- 512 стр.{\it Lurie A.I. \/} Nonlinear theory of elasticity. M.: Nauka, 1980. -- 512p.Babuška I., Suri M. The p- and h-p versions of the finite element method, an overview.Babuška I., Suri M. The p- and h-p versions of the finite element method, an overview.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.Vol. 80, Issues 1–3, 1990, P. 5-26Vol. 80, Issues 1–3, 1990, P. 5-26Patera A. T. (1984). A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channel expansion. Journal of Computational Physics, 54(3), 468–488.Patera A. T. (1984). A spectral element method for fluid dynamics: Laminar flow in a channel expansion. Journal of Computational Physics, 54(3), 468–488.Rønquist, E.M. and Patera, A.T. (1987), A Legendre spectral element method for the Stefan problem. Int. J. Numer. Meth. Engng., 24: 2273-2299. doi:10.1002/nme.1620241204Rønquist, E.M. and Patera, A.T. (1987), A Legendre spectral element method for the Stefan problem.Шабозов М. Ш. (2014). Об одной оптимальной кубатурной формуле для классов функций, задаваемых модулями непрерывности. Модел. и анализ информ. систем. Т. 21, вып. 3. С. 91–-105.Int. J. Numer. Meth. Engng., 24: 2273-2299. doi:10.1002/nme.1620241204Liu, Z. L., Menouillard, T. and Belytschko, T. (2011). An XFEM/Spectral element method for dynamic crack propagation.Shabozov M.S. (2014) On an Optimal Quadrature Formula for Classes of Functions Given by Modulus of Continuity. Modelirovanie i Analiz Informatsionnykh Sistem. V. 21, No. 3. P. 91-–105. (in Russian).International Journal of Fracture, 169(2), 183–198.Liu, Z. L., Menouillard, T. and Belytschko, T. (2011). An XFEM/Spectral element method for dynamic crack propagation.Gharti H. N., Komatitsch D., Oye V., Martin R. and Tromp J. (2012). Application of an elastoplastic spectral-element method to 3D slope stability analysis. Int. J. Numer. Meth. Engng., 91(1), 1-26.International Journal of Fracture, 169(2), 183–198.Gharti H. N., Oye V., Komatitsch D. and Tromp J., (2012)Gharti H. N., Komatitsch D., Oye V., Martin R. and Tromp J. (2012). Application of an elastoplastic spectral-element method to 3DSimulation of multistage excavation based on a 3D spectral-element method,slope stability analysis. Int. J. Numer. Meth. Engng., 91(1), 1-26.Computers & Structures, V. 100–101. P. 54-69.Gharti H. N., Oye V., Komatitsch D. and Tromp J., (2012)doi: 10.1016/j.compstruc.2012.03.005Simulation of multistage excavation based on a 3D spectral-element method,Peet Y. T. and Fischer P. F. (2014) Legendre spectral element method with nearly incom-pressible materials,Computers \& Structures, V. 100–101. P. 54-69.doi: 10.1016/j.compstruc.2012.03.005European Journal of Mechanics - A/Solids, V. 44, P. 91-103.Peet Y. T. and Fischer P. F. (2014) Legendre spectral element method with nearly incom\-pressible materials,European Journal of Mechanics - A/Solids, V. 44, P. 91-103.Абрамов С.М., Амелькин С.А., Клюев Л.В., Крапивин К.Ю., Ножницкий Ю.А., Серветник А.Н., Чичковский А.А. Использование программы Фидесис для моделирования развития больших пластических деформаций во вращающемся диске. Чебышевский сборник. 2017;18(3):15-27.Abramov S.M., Amel’kin S.A., Kljuev L.V., Krapivin K.J., Nozhnickij J.A., Servetnik A.N., Chichkovskij A.A. Modeling the development of large plastic deformations in a rotating disk it the fidesys program.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.