доктор физико-математических наук, профессор, академик НАН Таджикистан
doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, Academician of the National Academy of Sciences of Tajikistan
аспирант кафедры математического анализа и теории функций
Post-graduate student of the Department of Mathematical Analysis and Theory of Functions
Для приближённого вычисления криволинейного интеграла$$J(f;\Gamma):=\int\limits_{\Gamma}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)dt$$ в случае, когда кривая$\Gamma$ задаётся параметрическими уравнениями$$x_{1}=\varphi_{1}(t),x_{2}=\varphi_{2}(t),\cdots,x_{m}=\varphi_{m}(t), 0\leq t\leq L,$$вводится в рассмотрение квадратурная формула$$J(f;\Gamma)\approx:=\sum_{k=1}^{N}p_{k}\, f\Bigl(\varphi_{1}(t_k),\,\varphi_{2}(t_k), \ldots,\, \varphi_{m}(t_k)\Bigr),$$ где$P=\left\{p_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ и $T:=\left\{t_{k}:0\leqt_{1}<t_{2}<\ldots<t_{N}\leq L\right\}$-- произвольные векторыкоэффициентов и узлов. Пусть $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$-- множество кривых $\Gamma$, у которых координатные функции$\varphi_{i}(t)\in H^{\omega_{i}}[0,L] \ (i=\overline{1,m})$, где$\omega_{i}(t) \ (i=\overline{1,m})$ -- заданные модулинепрерывности, $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ -- класс функций$f(M),$ определённых в точках $M\in\Gamma,$ таких, что для любых двухточек$M^{\prime}=M(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}),$$M^{\prime\prime}=M(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime}),$принадлежащих кривой $\Gamma \inH^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L],$ они удовлетворяют условию$$\Bigl|f(M^{\prime})-f(M^{\prime\prime})\Bigr|\le\omega(\rho_{p}(M^{\prime},M^{\prime\prime})),$$ где$$\rho_{p}(M^{\prime},M^{\prime\prime})=\left\{\sum_{i=1}^{m}|x^{\prime}_{i}-x_{i}^{\prime\prime}|^{p}\right\}^{1/p},\ 1\leq p\leq \infty,$$ $\omega(t)$-- заданный модульнепрерывности. Доказано, что среди всех квадратурных формулуказанного вида наилучшей для класса функций$\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$ и класса кривых$H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ является формула среднихпрямоугольников.
Вычислена точная оценка погрешности наилучшей квадратурной формулыдля всех рассматриваемых классов функций и кривых и дано обобщениедля более общих классов функций.
For an approximate calculation of a curvilinear integral$$J(f;\Gamma):=\int\limits_{\Gamma}f(x_1,x_2,\ldots,x_m)dt$$when the curve $\Gamma$ is given by parametric equations$$x_{1}=\varphi_{1}(t),x_{2}=\varphi_{2}(t),\ldots,x_{m}=\varphi_{m}(t), 0\leq t\leq L$$the quadrature formula is entered into consideration$$J(f;\Gamma):\approx\sum_{k=1}^{N}p_{k}\, f\Bigl(\varphi_{1}(t_k),\,\varphi_{2}(t_k), \ldots,\, \varphi_{m}(t_k)\Bigr),$$ where$P=\left\{p_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ and $T:=\left\{t_{k}:0\leqt_{1}<t_{2}<\cdots<t_{N}\leq L\right\}$-- are arbitrary vectorcoefficients and nodes. Let$H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$-- sets of curves $\Gamma$,whose coordinate functions $\varphi_{i}(t)\in H^{\omega_{i}}[0,L] \(i=\overline{1,m}),$ where $\omega_{i}(t) \ (i=\overline{1,m})$--are given moduli of continuity $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$--functions class $f(M),$ defined in point $M\in\Gamma,$ such for anytwo points$M^{\prime}=M(x_{1}^{\prime},x_{2}^{\prime},\ldots,x_{m}^{\prime}),$$M^{\prime\prime}=M(x_{1}^{\prime\prime},x_{2}^{\prime\prime},\ldots,x_{m}^{\prime\prime})$belonging to a curve $\Gamma \inH^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,L]$ satsify the condition$$\Bigl|f(M^{\prime})-f(M^{\prime\prime})\Bigr|\le\omega(\rho_{p}(M^{\prime},M^{\prime\prime})),$$ where $$\rho_{p}(M^{\prime},M^{\prime\prime})=\left\{\sum_{i=1}^{m}|x^{\prime}_{i}-x_{i}^{\prime\prime}|^{p}\right\}^{1/p},\ 1\leq p\leq \infty,$$ $\omega(t)$-- given moduls of continuity.It is proved that among all quadrature formulas of the above from,the best for a class of functions $\mathfrak{M}_{\rho}^{\omega,p}$and a class of curves $H^{\omega_{1},\ldots,\omega_{m}}[0,1]$, isthe formula of average rectangles.
The exact error estimate of the best quadrature formula iscalculated for all the functional classes under consideration andthe curves are given a generalization for more general classes offunctions.}
The authors declare that there are no conflicts of interest present.