chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2020-21-3-223-231cheb-862Research ArticleКраткие сообщенияФункция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток — IIQuality function for the approximation of quadratic algebraic netsМихляеваАнна ВладимировнаMikhlyaevaAnna Vladimirovna

аспирант кафедры алгебры и дискретной математики

Postgraduate Student, Department of Algebra and discretemathematics

white.background.invisible@mail.ruОренбургский государственный университетРоссияOrenburg state UniversityRussian Federation202028122020213223231Copyright © Михляева А.В., 20202020Михляева А.В.Mikhlyaeva A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/862

Данная работа посвящена вопросам построения быстрых алгоритмов вычисления

функции качества рациональных сеток, приближающих квадратичные алгебраические

сетки в общем случае максимальной решётки целых алгебраических чисел.

Показано, что обобщённая параллелепипедальная сетка, приближающая квадратич-

ную алгебраическую сетку, является параллелепипедальной. Как следствие построен ал-

горитм вычисления функции качества за 0 (lnN) арифметических операций

This paper is devoted to the construction of fast algorithms for calculating the quality

function of rational grids that approximate quadratic algebraic grids in the General case of the

maximum lattice of integer algebraic numbers.

It is shown that the generalized parallelepipedal net approximating the quadratic algebraic

net is parallelepiped.As a consequence, an algorithm for calculating the quality function for

0 (lnN) arithmetic operations is constructed.

квадратичные поляприближение алгебраических сетокфункция ка- честваобобщённая параллелепипедальная сеткаquadratic fieldsapproximation of algebraic gridsquality functiongeneralized parallelepipedal grid.Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а.The reported study was funded by RFBR, project number 19-41-710004_r_a.ReferencesКвадратичное отклонение плоских сеток [Текст]/ автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук: 01.06.06 / Г. Т. Вронская. --- М., 2005. --- 10 c.{ Vronskaya, G. T.} 2005, “Quadratic deviation of flat grids” Abstract of Ph.D. dissertation: 01.06.06 / G. T. Vronskaya. – M.,. – 10 c.Квадратичное отклонение плоских сеток / Дис. канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 2005.{ Vronskaya, G. T.} 2005, “Quadratic deviation of flat grids” / Ph.D. Thesis. Moscow. MSPU.{ Вронская Г. Т., Добровольский Н. М.} О двумерных сетках Воронина // Чебышевский сборник 2004 Т. 5. Вып. 1(9). Тула, Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого. С. 74--86.{ Vronskaya,~G.~T., Dobrovol’skii,~N.~M.} 2004, “On two-dimensional Voronin grids”, Chebyshevskii sb,Tula, Izd-vo TSPU them. L.N. Tolstoy, vol.~5, no.~1(9). pp.~74--86.{ Вронская Г. Т., Добровольский Н. М., Родионова О. В.} Сравнениясуммы и произведения (тезисы)// Материалы всероссийской конференции "Современные проблемы математики, механики и информатики", ТулГУ. Тула 2002.{ Vronskaya,~G.~T., Dobrovol’skii,~N.~M., Rodionova,~O.~V.} 2002, “Comparisons sums and works (abstracts)”, Materials of all-Russian conference "Modern problems of mathematics, mechanics and computer science" TulSU. Tula.{ Вронская Г. Т.,Добровольский Н. М., Родионова О. В.} Сравнения, суммы и произведения по приведенной системе вычетов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика.{ Vronskaya,~G.~T.,Dobrovol’skii,~N.~M., Rodionova,~O.~V.} 2002, "Comparisons, amounts and products on the reduced system of deductions", News Of Tulgu. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics.,Tula, vol.~8, no.~1, pp.~10--28.Т. 8. Вып. 1. Тула, 2002. С. 10--28.Vronskaya, G. T., Dobrovol’skii, N. N. \, 2012, "Deviations of flat grids. monograph", edited by N. M. Dobrovol’skii. Tula.Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. , Отклонения плоских сеток. монография / под редакцией Н. М. Добровольского. Тула, 2012.{Vronskaya,~G.~T., Rodionova,~O.~V.} 2005, "Quadratic deviation of flat grids", Tula, izd-vo TSPU them. L. N. Tolstoy.{Вронская Г. Т., Родионова О. В.} Квадратичное отклонение плоских сеток. Тула, Изд-во ТГПУ им. Л.Н.Толстого, 2005.{ Dobrovol’skaya,~V.~N.} 2004, \, "Amount incomplete or fractions", Chebyshevskii sb., Tula, vol.~5, no.~2~(10), pp.~43--48.{ Добровольская В. Н.} , Неполные суммы дробных долей // Чебышевский сборник. Тула, 2004. Т. 5, вып. 2 (10) С. 43--48.{ Dobrovol’skaya,~V.~N.} 2004, \, "The formula of the Peak and partial sums of the fractional share", Izv. Tul. st. un-ty. Ser. Mathematics. Mechanics.Informatics. Tula: Izd-vo Tulgu, vol.~10, no.~1, pp. 5–11.{ Добровольская В. Н.} , Формула Пика и неполные суммы дробных долей // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Меха-ника. Информатика. Т. 10. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. С. 5--11.{ Dobrovol’skaya,~V.~N.} 2005,\, "The deviation of the flat parallelepipedal grids", Chebyshevskii sb. Tula, vol.~6, no.~1~(13), pp. 87–97.{ Добровольская В. Н.} , Отклонение плоских параллелепипедальных сеток // Чебышевский сборник. Тула, 2005 Т. 6. Вып. 1 (13). С. 87--97.{ Dobrovol’skaya,~V.~N.} 2005, \, "The basic method of fractional shares Vinogradova – Korobova and deviation of flat Bakhvalov grids", Chebyshevskii sb. vol.~6, no.~2(14), pp. 138–144.{ Добровольская В. Н.} , Элементарный метод дробных долей Виноградова -- Коробова и отклонение плоских сеток Бахвалова // Чебышевский сборник. 2005 Т. 6, вып. 2(14). С. 138 --- 144.Dobrovol’skaya, L. P., Dobrovol’skii, M. N., Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N.~N. \, 2012, "Multidimensional number-theoretic grids and lattices and algorithms for finding the optimal coefficients", Tula: Izd-vo Tul. st. ped. un-ty them.~L.~N.~Tolstoy. – 283\,p. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960.Л. П. Добровольская, , М. Н. Добровольский,, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский , Многомерные теоретико-числовые сетки и решётки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов, / Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2012. --- 283,с. http://elibrary.ru/item.asp? id=20905960.Dobrovol’skaya, L. P., \, Dobrovol’skii, M. N., \, Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii,~N.~N. \, 2012, "Hyperbolic Zeta functions of grids and lattices and calculation of optimal coef\-ficients", Chebyshevskii sb. vol.~13, no.~4(44), pp.~4--107.Л. П. Добровольская, , М. Н. Добровольский, , Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский , Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов, // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4--107.Dobrovol'skii, N. M. 1984, “The hyperbolic Zeta function of lattices”, Dep. v VINITI, no. 6090–84.{ Добровольский Н. М.} , Гиперболическая дзета функция решёток. / Деп. В ВИНИТИ 24.08.84, N 6090--84.Dobrovol’skii, N. M., Dobrovol’skii, N. N., Soboleva,V. N., Sobolev, D. K., Yushina(Klimova), E. I. 2015,\, "Hyperbolic Zeta function of the lattice of a quadratic field"\,, Chebyshevskii sb. vol. 16, no. 4, pp. 100--149. pp. 47--52.Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский, В. Н. Соболева, Д. К. Соболев, Е. И. Юшина(Климова) , Гиперболическая дзета-функция решётки квадратичного поля //Чебышевский сб., 2015. Т. 16, вып. 4. С. 100--149. С. 47--52.{ Dobrovol’skii,~N.~M., Esayan,~A.~R., Pikhtilkov,~S.~A., Rodionova,~O.~V., Ystyan,~A.~E.} 1999, \, "On one algorithm for finding optimal coefficients", Izvestiya Tulgu. Ser. Mathe\-matics. Mechanics. Informatics.Tula. Vol.~5, no.~1, pp.~51--71.{ Добровольский Н. М., Есаян А. Р., Пихтильков С. А., Родионова О. В., Устян А. Е.} , Об одном алгоритме поиска оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 5, вып. 1. Тула, 1999. С. 51--71.Dobrovol'skii, N. M. \& Roshhenya, А.L. 1996, “On continuity of the hyperbolic Zeta function of lattices”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 2, no. 1, pp. 77–87.Добровольский Н. М., Рощеня А. Л. О непрерывностиKlimova,E. I., Dobrovol’skii, N. N. \, 2018, "Quadratic fields and quadrature formu\-las"\,, Proceedings of the XV International conference Algebra, number theory and dis\-crete geometry: modern problems and applications, dedicated to the centenary of the doctor of physical and mathematical Sciences, Professor of Moscow state University named after M.~V.~Lo\-monosov Korobov Nikolai Mikhailovich. Tula: Publishing house. GOS. PED. UN-TA im. L. N. Tolstoy. pp. 308-310.гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та.Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула:Korobov,~N.~M. \, 2004, "Numerical-theoretic methods in approximate analysis", Moscow: mtsnmo. 288 p.Изд--во ТулГУ, 1996. С. 77--87.A. V. Mikhlyaeva, 2018, "Approximation of quadratic algebraic lattices and nets by integer latticesЕ. И. Климова, Н. Н. Добровольский , Квадратичные поля и квадратурные формулы // Материалы XV Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2018. С. 308–310.and rational nets" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 241–256.Коробов Н. М. , Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. / М.: Физмат-гиз, 1963.A. V. Mikhlyaeva, 2019, "Quality function for the approximation of quadratic algebraic nets" ,Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 305–310.Коробов Н. М. , Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288,с.Rodionov, A. V. \, 2018, "On rational approximations of algebraic grids", Proceedings of the XV International conference Algebra, number theory and discrete geometry: modern problems and applications, dedicated to the centenary of the doctor of physical and mathematical Sciences, Professor of M. V. Lomonosov Moscow state University Nikolai Mikhailovich Korobov. Tula: Publishing house. GOS. PED. UN-TA im. L. N. Tolstoy. pp. 321-310.А. В. Михляева. Приближение квадратичных алгебраических решёток и сеток целочисленными решётками и рациональными сетками // Чебышевcкий сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 241–256.Rodionov, A. V., Chuprin, S.~Yu. \, 2014, "On hyperbolic parameters of the lattice of linear comparison", Izvestiya Tulgu. Natural science. Issue. 1. CH.~1. --- Tula: Publishing house of Tulgu. pp.~50–62.А. В. Михляева. Функция качества для приближения квадратичных алгебраических сеток{ Rodionova, O. V.} 2000, "Recurrent formulas of the first order for power sums of fractional fractions", Sat.:"All-Russian scientific conference "Modern problems of mathematics, mechanics, Informatics", Tula, pp. 50-51.// Чебышевcкий сборник, 2019, т. 20, вып. 1, с. 305–310.{ Rodionova, O. V.} 2000, "Generalized parallelepipedal grids and their applications", Dis. ... kand. p. Mat. sciences'. Moscow. Moscow state pedagogical University.А. В. Родионов , О рациональных приближениях алгебраических сеток // Материалы XV Международной конференции Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения, посвященной столетию со дня рождения доктора физико-математических наук, профессора Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Коробова Николая Михайловича. – Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2018. С. 321–310.{Frolov,~K.~K.} \, 1976, "Upper estimates of the error of quadrature formulas on classes of functions", DAN USSR. vol.~231, no.~4, pp.~818–821.Родионов А. В., Чуприн С. Ю. , О гиперболических параметрах решётки линейного сравнения // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 1. Ч. 1. --- Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 50--62.{ Frolov, K. K.} 1979, "Quadrature formulas on classes of functions", Dis.... kand. p. Mat. sciences'. M.: VTS an SSSR.{ Родионова О. В.} Рекуррентные формулы первого порядка для степенных сумм дробных долей //Сб.:"Всероссийская научная конференция "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, 2000 с. 50-51{ Sharugin,~I.~F.} 1983, "Lower estimates of the error of quadrature formulas on classes of functions", Journal. compute. mate. and mate. physics. vol. 7, no 4, pp.~784–802.{ Родионова О. В.} Обобщенные параллелепипедальные сетки и их приложения / Дис. ...{ Родионова О. В.} Обобщенные параллелепипедальные сетки и их приложения / Дис. ...канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 2000.канд. физ.-мат. наук. Москва. МПГУ, 2000.{Фролов К. К.} , Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818--821.{Фролов К. К.} , Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. № 4. С. 818--821.{ Фролов К. К.} Квадратурные формулы на классах функций. / Дис.{ Фролов К. К.} Квадратурные формулы на классах функций. / Дис.... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.{ Шарыгин И. Ф.}Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций{ Шарыгин И. Ф.}Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций// Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. No 4. С. 784 --- 802.// Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 7. 1963. No 4. С. 784 --- 802.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.