В статье рассматриваются суммы значений композиции вещественной периодическойарифметической функции и функции количества простых делителей по натуральным чис-лам, не превосходящим заданного. При этом подсчет простых делителей может произво-диться как с учетом кратности, так и без ее учета, а на сами делители может быть наложенодополнительное требование принадлежности некоторому специальному множеству. Упо-мянутое специальное множество может быть, например, объединением нескольких ариф-метических прогрессий с заданной разностью, или же допускать аналог асимптотическогозакона распределения простых чисел со степенным понижением в остатке. Более того,вместо функции количества простых делителей можно рассмотреть любую вещественнуюаддитивную функцию, равную единице на простых числах. В качестве примера периоди-ческой арифметической функции можно рассмотреть символ Лежандра. Доказаны асимп-тотические формулы для указанных сумм и изучено их поведение.Доказательство использует разложение периодической арифметической функции похарактерам аддитивной группы вычетов, что сводит задачу к рассмотрению специальнойтригонометрической суммы с функцией количества простых делителей в показателе. Длянахождения асимптотик этих сумм мы записываем соответствующий производящий рядДирихле, аналитически продолжаем его и применяем формулу Перрона и метод комплекс-ного интегрирования в специально адаптированном варианте.