chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2020-21-3-165-185cheb-858Research ArticleСтатьиArticleГладкое многообразие одномерных решётокSmooth manifold of one-dimensional latticesСмирноваЕлена НиколаевнаSmirnovaElena Nikolaevna

старший преподаватель кафедры алгебры и дискретнойматематики

senior lecturer of the Department of algebra and discrete mathematics

helenash@mail.ruПихтильковаОльга АлександровнаPikhtilkovaOlga Alexandrovna

кандидат физико-математических наук, доцент ка-федры высшей математики-2

Candidate of Physics and Mathematics Sciences, docent,associate professor of the department of higher mathematics-2

opikhtilkova@mail.ruДобровольскийНиколай НиколаевичDobrovol’skiiNikolai Nikolaevich

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

доцент кафедры общей и теоретической физики

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the department of general and theoretical physics, associate Professor of algebra, mathematical analysis and geometry

nikolai.dobrovolsky@gmail.comРеброваИрин ЮрьевнаRebrovaIrina Yur'evna

кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета математики, физики и информатики

candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, dean of the Faculty of Mathematics, Physics and Informatics

i_rebrova@mail.ruДобровольскийНиколай МихайловичDobrovol’skiiNikolai Mihailovich

профессор, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry

dobrovol@tsput.ruОренбургский государственный университетРоссияOrenburg State UniversityRussian FederationМИРЭА-Российский технологический университетРоссияMIREA - Russian Technological UniversityRussian FederationТульский государственный университет, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State University, Tula State L. N. Tolstoy Pedagogical UniversityRussian FederationТульский государственный педагогический университет им. Л. Н. ТолстогоРоссияTula State L. N. Tolstoy Pedagogical UniversityRussian Federation202028122020213165185Copyright © Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М., 20202020Смирнова Е.Н., Пихтилькова О.А., Добровольский Н.Н., Реброва И.Ю., Добровольский Н.М.Smirnova E.N., Pikhtilkova O.A., Dobrovol’skii N.N., Rebrova I.Y., Dobrovol’skii N.M.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/858решёткиметрическое пространство решётокгладкое многообразие решётокlatticesmetric space of latticessmooth variety of lattices.Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а.Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №19-41-710004_р_а.References{ Акрамов У. А.} Теорема изоляции для форм,Аkramov, U. А. 1990, ``The isolation theorem for forms corresponding to purely real algebraic fields``, \textit{Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 10 Zap. nauchn. sem. LOMI}, no. 185, pp. 5–12.отвечающих чисто вещественным алгебраическим полям,Arnold V. I., 1975, ``Ordinary differential equations'', M .: Science, 240~p.// Аналитическая теория чисел и теория функций: 10.Babenko, K.I. 1986, Osnovy chislennogo analiza [Fundamentals of numerical analysis], Nauka, Moscow, Russia.Зап. науч. семинара. ЛОМИ. 1990. N 185. С. 5--12.Vejl', G. 1947, \textit{Аlgebraicheskaya teoriya chisel [Algebraic number theory]}, Gosudarstvennoe izdatel'stvo inostrannoj literatury, Moscow, Russia.Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. --- М.: Наука. 1975. --- 240 с.Delone, B. N. \& Faddeev, D. K. 1940, ``Theory of irrationalities of the third degree``, \textit{Trudy matematicheskogo instituta imeni V.А. Steklova }(Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics), vol. 11, pp. 3–340.{ Бабенко К. И.} , Основы численного анализа. , М.: Наука, 1986.Dobrovol'skaya, L. P., Dobrovol'skii, N. M. \& Simonov, А.S. 2008, “On the error of approximate integration over modified grids”, Chebyshevskij sbornik, vol. 9, no. 1(25), pp. 185–223.{ Вейль Г.} Алгебраическая теория чисел --- М.: И*Л, 1947Dobrovol'skii, N. M. 1984, “Evaluation of generalized variance parallelepipedal grids”, Dep. v VINITI, no. 6089–84.{ Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К.} ТеорияDobrovol'skii, N. M. 1984, “On quadrature formulas in classes $E^\alpha_s(c)$ and $H^\alpha_s(c)$”, Dep. v VINITI, no. 6091–84.иррациональностей третьей степени{Dobrovolskiy~N.~M.} Hyperbolic zeta function of lattices. Dep. in VINITI 08.24.84, no.~6090-84.// Научн. тр. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова.{Dobrovolsky~N.~M.} ``Multidimensional number-theoretic grids and lattices and their applications to approximate analysis'', Sb. IV International conference \ glqq Modern problems of number theory and its applications \ grqq \ dedicated to the 180th anniversary of P.~L.~Chebyshev and 110th anniversary of I.~M.~Vinogradov. Tula, 10 --- 15 September, 2001 Actual problems Ch.~I. M. MGU, 2002. p.~54 --- 80.Т.11.Dobrovol'skii, N. M. \& Manokhin, E.V. 1998, “Banach spaces of periodic functions”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 4, no. 3, pp. 56–67.Добровольская Л. П., Добровольский Н. М., Симонов А. С. ОDobrovol’skii N.M., Manokhin E.V., Rebrova I. Yu., Roshchenya A.L., 2001, “On the continuity of the zeta function of a grid with weights”, Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika, vol. 7, no. 1, pp. 82–86.погрешности приближенного интегрирования по модифицированнымDobrovol'skij, N.M., Rebrova, I.YU. \& Roshhenya, А.L. 1998, ``Continuity of the hyperbolic zeta function of lattices``, \textit{Matematicheskie zametki} (Mathematical Notes), vol. 63, no. 4, pp. 522–526.сеткам //, Чебышевский сборник, 2008. Т. 9. Вып. 1(25). Тула, Из-воN. M. Dobrovol'skii, A. L. Roshchenya, “Number of lattice points in the hyperbolic cross”, Math. Notes, 63:3 (1998), 319–324.ТГПУ им. Л. Н. Толстого., С. 185--223.{Dobrovolskiy~N.~M., Roshchenya~A.~L.}, 1995, ``On the number of points of a lattice in a hyperbolic cross'', Algebraic, probabilistic, geometric, combinatorial and functional methods in number theory: Collected tez. report II Int. conf. Voronezh, p.~53.Н. М. Добровольский , Оценки отклонений обобщенных параллелепипедальных сеток. , Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. No 6089--84.{Dobrovolskii~N.~M., Roshchenya~A.~L.}, 1996, ``On the analytic continuation of the hyperbolic zeta-function of rational lattices'', Modern problems of number theory and its applications: Collection of articles. thesis. report III Int. conf. Tula, p.~49.Н. М. Добровольский , О квадратурных формулах на классах $E^alpha_s(c)$ и $H^alpha_s(c)$. , Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. No 6091--84.{Dobrovol'skii~N.~M., Roshchenya~A.~L.}, 1996, ``On the continuity of the hyperbolic zeta-function of lattices'', Izv. Toole. state un-that. Ser. Mathematics. Mechanics. Computer science. T.~2. Issue~1. Tula: Publishing house of Tula State University, p.~77 --- 87.{ Добровольский Н. М.} Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, No 6090--84.Kassels, D. 1965, \textit{Vvedenie v geometriyu chisel}, [Introduction to the geometry of numbers], Mir, Moscow, Russia.{ Добровольский Н. М.} Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и их приложения к приближенному анализу // Сб. IV Международная конференция glqq Современные проблемы теории чисел и ее приложенияgrqq,, посвященная 180-летию П. Л. Чебышева и 110-летию И. М. Виноградова. Тула, 10---15 сентября, 2001 Актуальные проблемы Ч. I. М. МГУ, 2002. С. 54---80.A. N. Kormacheva, 2019, "Approximation of quadratic algebraic lattices by integer lattices --- II"\,, {\it Che\-by\-shev\-skii sbornik}, vol.~\tom, no.~\iss, pp.~\pageref{Kormacheva}--\pageref{KormachevaEnd}.Добровольский Н. М., Манохин Е. В. , Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Т. 4, вып. 3. Тула, 1998. C. 56--67.Korobov, N.M. 1963, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], Fizmat-giz, Moscow, Russia.Добровольский Н. М., Манохин Е. В., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. , О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 7, вып. 1. --- Тула, 2001. С. 82--86.Korobov, N.M. 2004, Teoretiko-chislovye metody v priblizhennom analize [Number-theoretic methods in approximate analysis], 2nd ed, MTSNMO, Moscow, Russia.{ Добровольский Н. М., Реброва И. Ю., Рощеня А. Л.} Непрерывность гиперболической дзета-функции решёток // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 4. 1998. C. 522--526.Lokutsievskij, O. V. \& Gavrikov, M. B. 1995, Nachala chislennogo analiza [The beginning of numerical analysis], TOO “Yanus”, Moscow, Russia.{ Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Алгебраические, вероятностные, геометрические, комбинаторные и функциональные методы в теории чисел: Сб.тез. докл. II Междунар. конф. Воронеж, 1995. C. 53.N. V. Maksimenko, 2020, "The space of Dirichlet series to multivariate lattices and the algebra of{ Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} Об аналитическом продолжении гиперболической дзета-функции рациональных решёток // Современные проблемы теории чисел и ее приложения: Сб. тез. докл. III Междунар. конф. Тула, 1996. C. 49.Dirichlet series of grids, repetitive multiplication"\,\!, Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp.~233–246.{ Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} О непрерывности гиперболической дзета-функции решёток // Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 2. Вып. 1. Тула: Изд--во ТулГУ, 1996. С. 77 --- 87.Rebrova, I. YU. 1998, ``The continuity of the generalized hyperbolic zeta lattice function and its analytic continuation``, \textit{Izvestiya TulGU. Seriya Matematika. Mekhanika. Informatika}, vol. 4, no. 3, pp. 99–108.{ Добровольский Н. М., Рощеня А. Л.} , О числе точек решётки в гиперболическом кресте // Мат. заметки. Т. 63. Вып. 3. 1998. C. 363--369.Skubenko, B. F. 1981, ``The isolation theorem for decomposable forms of purely real algebraic fields of degree $n>3$``, \textit{Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij}. 4 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.112, pp. 167–171.Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва. , Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевcкий сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180--196.Skubenko, B. F. 1981, ``On the product of $n$ linear forms of $n$ variables``, \textit{Trudy MIАN SSSR}, no.158, pp. 175–179.%bibitem{Kas1}{ Касселс Дж. В. С.} , Введение в теорию диофантовых приближений. --- М.: ИЛ. 1961. --- 213 с.Skubenko, B. F. 1982, ``To joint approximations of algebraic irrationalities``, \textit{Tselochislennye reshetki i konechnye linejnye gruppy, Zap. nauchn. sem. LOMI}, pp. 142–154.{ Касселс Дж. В. С.} , Введение в геометрию чисел. --- М.: Мир, 1965. --- 420 с.Skubenko, B. F. 1987, ``Cyclic sets of points and lattices``, \textit{Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij. 8 Zap. nauchn. sem. LOMI}, pp. 151–158.bibitem{Kor}А. Н. Кормачева. Приближение квадратичных алгебраических решёток целочисленными решётками --- II // Чебышевcкий сборник, 2019, т. tom, вып. iss, с. pageref{Kormacheva}--pageref{KormachevaEnd}.Skubenko, B. F. 1988, ``The minima of a decomposable cubic form in three variables``, \textit{Аnaliticheskaya teoriya chisel i teoriya funktsij}. 9 Zap. nauchn. sem. LOMI, no.168, pp. 151–158.Коробов Н. М. , Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. , М.: Физматгиз, 1963.Skubenko, B. F. 1990, ``Minima of decomposable forms of degree $n$ of $n$ variables for $n>3$``, \textit{Modulyarnye funktsii i kvadratichnye formy. 1 Zap. nauchn. sem. LOMI}, no.183, pp. 142–154.Коробов Н. М. , Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. (второе издание) М.: МЦНМО, 2004. 288,с.E. N. Smirnova, O. A. Pikhtilkova, N.~N.~Dobrovolsky, N.~M.~Dobrovolsky., 2017, ``Algebraic lattices in the metric space of lattices'', Chebyshev sb., vol.~18, no.~4, p.~326--338.О. В. Локуциевский, М. Б. Гавриков , Начала численного анализа / М.: ТОО "Янус", 1995.Warner F. Foundations of the theory of smooth manifolds and Lie groups. --- M .: Mir, 1987. --- 304~p.Н. В. Максименко. , Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток и алгебра рядов Дирихле решёток, повторяющихся умножением // Чебышевcкий сборник. 2020. Т. 21, вып. 1, С. 233–246.Frolov, K. K. 1976, ``Estimates from above of the error of quadrature formulas on function classes``, \textit{DАN SSSR}, no.4, pp. 818–821.{ Реброва И. Ю.} Непрерывность обобщенной гиперболической дзе-та--функции решёток и ее аналитическое продолжение // Изв. ТулГУ. Сер. Механика. Математика. Информатика. Тула, 1998. Т.4. Вып.3. С. 99--108.Frolov, K. K. 1979, ``Quadrature formulas on function classes``, Ph.D. Thesis, Computing Center of the Russian Academy of Sciences of the USSR, Moscow, Russia.{ Скубенко Б. Ф.} О произведении $n$ линейных форм от $n$ переменных // Труды МИАН СССР. No 158. 1981. С. 175 --- 179.{ Скубенко Б. Ф.} О произведении $n$ линейных форм от $n$ переменных // Труды МИАН СССР. No 158. 1981. С. 175 --- 179.{ Скубенко Б. Ф.} Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени $nge 3$ // Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. науч.{ Скубенко Б. Ф.} Теорема изоляции для разложимых форм чисто вещественных алгебраических полей степени $nge 3$ // Аналитическая теория чисел и теория функций. 4. Зап. науч.семинара ЛОМИ. No 112. 1981. С. 167--171.семинара ЛОМИ. No 112. 1981. С. 167--171.{ Скубенко Б. Ф.} Циклические множества чисел и решёток // Аналитическая теория чисел и теория функций. 8. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 160. 1987. С. 151--158.{ Скубенко Б. Ф.} Циклические множества чисел и решёток // Аналитическая теория чисел и теория функций. 8. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 160. 1987. С. 151--158.{ Скубенко Б. Ф.} Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 168. 1988. С. 125--139.{ Скубенко Б. Ф.} Минимумы разложимой кубической формы от трех переменных // Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 168. 1988. С. 125--139.{ Скубенко Б. Ф.} Минимумы разложимых форм степени $n$ от $n$ переменных при $nge 3$ // Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 183. 1990. С. 142--154.{ Скубенко Б. Ф.} Минимумы разложимых форм степени $n$ от $n$ переменных при $nge 3$ // Модулярные функции и квадратичные формы. 1. Зап. науч. семинара ЛОМИ. No 183. 1990. С. 142--154.Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. , Алгебраические решётки в метрическом пространстве решёток // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 326--338.Е. Н. Смирнова, О. А. Пихтилькова, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. , Алгебраические решётки в метрическом пространстве решёток // Чебышевский сб. 2017. Т. 18, вып. 4. С. 326--338.Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и группы Ли. --- М.: Мир, 1987. --- 304 с.Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и группы Ли. --- М.: Мир, 1987. --- 304 с.{ Фролов К. К.} Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. No 4. С. 818--821.{ Фролов К. К.} Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 231. 1976. No 4. С. 818--821.{ Фролов К. К.} Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1971.{ Фролов К. К.} Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1971.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.