chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University0.22405/2226-8383-2020-21-3-39-58cheb-848Research ArticleСтатьиArticleИнтеграл Шнирельмана и аналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полейSchnirelmann’s integral and analogy of Cauchy integral theorem for two-dimensional local fieldsВостоковСергей ВладимировичVostokovSergey Vladimirovich

доктор физико-математических наук, профессор

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor

s.vostokov@spbu.ruШашковТимофей ЮрьевичShashkovTimofei Yurievich7197163@mail.ruАфанасьеваСофья СергеевнаAfanas’evaSofya Sergeevna

кандидат физико-математических наук, инженер-иссле-дователь

sonya.afan@gmail.comСанкт-Петербургский государственный университетРоссияSaint Petersburg State UniversityRussian Federation2020251220202133958Copyright © Востоков С.В., Шашков Т.Ю., Афанасьева С.С., 20202020Востоков С.В., Шашков Т.Ю., Афанасьева С.С.Vostokov S.V., Shashkov T.Y., Afanas’eva S.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/848

Задача работы возникла из потребности исследования связей между теорией полей ал-гебраических чисел и теорией функций. Один из самых фундаментальных и классическихрезультатов из комплексного анализа «Интегральная теорема Коши» имеет дискретныйаналог для случая одномерных локальных полей. Следовательно, возникает естественныйвопрос можно ли обобщить аналог Интегральной теоремы Коши на случай двумерных по-лей. Данная работа отвечает на поставленный вопрос, обобщая интеграла Шнирельманаи доказывая аналог интегральной теоремы Коши. Как следствие, получена связь междусимволом Гильберта и интегралом Шнирельмана

The problem studied in the thesis arose from the need to find connections between algebraicfield theory and theory of functions. The Cauchy integral theorem, which is one of the most basicand classical results of the complex analysis, has a discrete analog in the case of one-dimensionallocal fields. The natural question then arises whether it is possible to generalize the same resultto two-dimensional local fields. The present paper contains the definition of Schnirelmann’sintegral and the proof of an analog of Cauchy’s integral theorem for two-dimensional localfields. As a consequence, links between the Hilbert symbol and Schnirelmann’s integral areestablished

Интеграл Шнирельманааналог интегральной теоремы Коши для двумерных локальных полейSchnirelmann’s integralanalog of Cauchy’s integral theorem for two-dimensional local fieldsИсследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10200)Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда (проект 16-11-10200)ReferencesZhukov, I., Geometry & Topology Monographs Volume 3: Invitation to higher local fields Part I, section 1, pages 5–18Fesenko I.B. 1993, "Theory of local fields. Local class field theory. Multidimensional local class field theory", St. Petersburg Math. J. 4 (1993), no. 3, pp. 403–438.Hasse Н., Bericht uber i euere U t rsuchungen und Frobleme aus der Theorie der algebraische I Zahlkorper, II, Rezipro/itats; setz, Lip/ig¯Berlin, 1930.Fesenko, I.B. Vostokov, S.V. $\&$ Zhukov, I.B. 1990, "On the theory of multidimensional local fields. Methods and constructions", Algebra i Analiz 2 (1990), no. 4, 91–118; English transl. in Leningrad Math. J. 2 (1991).Kato K., A generalition of local class field theory by using K-groups.1, J.Fac.Sci.Univ.Tokio, Sect 1, Math.26(1979), No2, 303-376Hasse, Н. 1930, "Bericht über neuere Untersuchungen und Probleme aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper", Teil II: Reziprozitätsgesetz., vol.6 of Jahresber. DMV, Ergän\-zungs\-band. B. G. Teubner. IV + 204 pp.Kato K., A generalization of local class field theory by using K-groups. II, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 27 (1980), no. 3, 603–683. 4.Ivanov, M.A. 2013, "The product of symbols of $p^{n}$th power residues as an Abelian integral", St. Petersburg Mathematical Journal, vol. 24:2, pp. 275–281. doi/10.1090/S1061-0022-2013-01238-6Востоков С. В. Явная форма закона взаимности.— Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т.~42, № 6, с. 1288—1321.Kato, K. 1979, "A generalization of local class field theory by using $K$-groups. I", Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics 26, no. 2, pp. 303-376. doi/10.15083/00077072Востоков С., В., Явная конструкция теории полей классовKato, K. 1980, "A generalization of local class field theory by using K-groups. II", Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics 27, no. 3, pp. 603–683. doi/10.15083/00077073многомерного локального поля, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1985, том 49, выпуск 2, 283–308Lomadze, V.G. 1980, "On the ramification theory of two-dimensional local fields", Mathematics of the USSR-Sbornik, vol. 37:3, pp. 349–365. doi/10.1070/SM1980v037n03ABEH001957Востоков С., В., Жуков И., Б., Фесенко И., Б., К теории многомерных локальных полей. Методы и конструкции, АлгебраMilnor J. 1971, "Introduction to algebraic K-theory", Ann. Math. Stud., no. 72, XIV, 184 pp.и анализ, 1990, том 2, выпуск 4, 91–118.A.N. 1975, "Class fields and algebraic $K$-theory", Uspekhi Mat. Nauk, vol. 30, no. 1, pp.253–254.Востоков С., В., Иванов М., А., Интегральная теорема Коши и классическийParshin A.N. 1985, "Local class field theory", Proc. Steklov Inst. Math., 1985, no. 3.закон взаимности, Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки, 2012, том 154, книга 2, 73–82Shafarevich I.R. 1950, “A general reciprocity law”, Mat. Sb. (N.S.), 26(68):1 (1950), pp. 113–146Иванов М., А., Произведение символов $p^{n}$-х степенных вычетов как абелев интеграл, Алгебра и анализ, 2012, том 24, выпуск 2, 120–129Vostokov, S.V. 1979, "Explicit form of the law of reciprocity", Mathematics of the {USSR}-Izvestiya, vol. 13, no. 3, pp. 557–588. doi/10.1070/IM1979v013n03ABEH002077Ломадзе В. Г., К теории ветвления двумерных локальных полей, Матем. сб., 1979, т.~109 (151), номер 3(7), 378–394Vostokov, S.V. 1986, "Explicit construction of class field theory for a multidimensional local field", Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol.26(2):263. doi/10.1070/IM1986v026n02 ABEH001141Милнор Дж. Введение в алгебраическую $K$-теорию. М.: Мир, 1974, 196 с.Vostokov, S.V. $\&$ Ivanov, M.A. 2012, “Cauchy’s integral theorem and classical reciprocity law”, Uch. Zap. Kazan. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki 154 (2), pp. 73–82Паршин А. Н. Поля классов и алгебраическая $K$-теория.— Успехи матем. наук, 1975, т.~30, № 1, с. 253—254.Zhukov, I. 2000, "Higher dimensional local fields", Geometry $\&$ Topology Monographs, vol. 3, pp.~5–18. doi: 10.2140/gtm.2000.3.5Паршин А. Н. Локальная теория полей классов.— Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1984, т. 165, с. 143—170.Паршин А. Н. Локальная теория полей классов.— Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1984, т. 165, с. 143—170.Фесенко И. Б., Теория локальных полей. Локальная теория полей классов. Многомерная локальная теория полей классов, Алгебра и анализ, 1992, том 4, выпуск 3, 1–41Фесенко И. Б., Теория локальных полей. Локальная теория полей классов. Многомерная локальная теория полей классов, Алгебра и анализ, 1992, том 4, выпуск 3, 1–41Шафаревич И. Р., Общий закон взаимности, Матем. сб., 1950, том 26(68), номер 1, 113–146Шафаревич И. Р., Общий закон взаимности, Матем. сб., 1950, том 26(68), номер 1, 113–146

The authors declare that there are no conflicts of interest present.