chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2020-21-1-341-356cheb-801Research ArticleСтатьиArticleОб одной теореме о среднем значении кратных тригонометрических суммOn a mean-value theorem for multiple trigonometric sumsЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevich

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, президент механико-математического факультета

doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the Department of mathematical and computer methods of analysis, president of the mechanics and mathematics faculty

chubarik1@mech.math.msu.suМосковский государственный университет имени М. В. ЛомоносоваРоссияM. V. Lomonosov Moscow State UniversityRussian Federation202022042020211341356Copyright © Чубариков В.Н., 20202020Чубариков В.Н.Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/801

Доказана теорема о среднем для кратных тригонометрических сумм, обобщающая теорему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградова являются оценки дзетовых сумм вида

$$

$$

\sum_{n\leq P}n^{it}

\sum_{n\leq P}n^{it}.

$$Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида$$\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.$$

A mean-value theorem for multiple trigonometric generalizing from the G. I. Arkhipov’stheorem [12, 13] was proved. The first theorem of the similar type lies in the core of theI. M. Vinogradov’s method [2]. In the paper the version of theorem with “similar” lengths ofchanging intervals of variables. Estimates of zeta-sums of the form

$$\sum_{n\leq P}n^{it}.$$are the interesting application of the I. M. Vinogradov's method. The similar application of the mean-value theorem proving by us serve the estimate of sums of the form$$\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.$$

теоремы о среднем И. М. ВиноградоваГ. И. Архиповамногомерная функция делителейпростые числадзетовая суммаthe mean-value theorem of I. M. Vinigradov and G. I. Arkhipovthe multivariate divisor functionprime numbersthe zeta-sumReferences

The authors declare that there are no conflicts of interest present.