кандидат физико-математических наук, механико-математический факультет
candidate of physical and mathematical Sciences, faculty of mechanics and mathematics
Одной из актуальных современных проблем алгебры и теории чисел является проблема существования и поиска фундаментальных S-единиц в гиперэллиптических полях. Проблема существования и поиска S-единиц в гиперэллиптических полях эквивалентна разрешимости норменного уравнения - функционального уравнения Пелля - с некоторыми дополнительными условиями на вид этого уравнения и его решения. Существуетглубокая связь между точками конечного порядка в якобиевом многообразии (якобиане) гиперэллиптической кривой и нетривиальными S-единицами соответствующего гиперэллиптического поля. Эта связь легла в основу предложенного В. П. Платоновым алгебраического подхода к известной фундаментальной проблеме об ограниченности кручения в якобиевых многообразиях гиперэллиптических кривых. Для эллиптических кривых над полем рациональных чисел проблема кручения была решена Мазуром в 1970-ых годах. Для кривых рода 2 и выше над полем рациональных чисел проблема кручения оказалась значительно сложнее, и пока далека от своего полного решения. Основные результаты, полученные к настоящему времени в этом направлении, относятся к описанию подгрупп кручения якобиевых многообразий конкретных гиперэллиптических кривых, а также к описанию некоторых семейств гиперэллиптических кривых рода g >= 2.
В данной статье нами найден новый метод исследования разрешимости функциональных норменных уравнений, дающий полное описание гиперэллиптических кривых над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают точками кручения данных порядков. Наш метод основан на аналитическом изучении представителей дивизоров конечного порядка в группе классов дивизоров степени ноль и их представлений Мамфорда. В качестве иллюстрации работы нашего метода в данной статье непосредственно найдены все параметрические семейства гиперэллиптических кривых рода два над полем рациональных чисел, якобиевы многообразия которых обладают рациональными точками кручения порядков не превосходящих пяти. Более того, наш метод позволяет определить, какому найденному параметрическому семейству принадлежит данная кривая, якобиан которой обладает точкой кручения порядка, не превосходящего пяти.
One of the pressing contemporary problems of algebra and number theory is the problemof the existence and searching for fundamental S-units in hyperelliptic fields. The problem ofthe existence and searching of S-units in hyperelliptic fields is equivalent the solvability of thenorm equation - the functional Pell equation - with some additional conditions on the formof this equation and its solution. There is a deep connection between points of finite order inJacobian variety (Jacobian) of hyperelliptic curve and nontrivial S-units of hyperelliptic field.This connection formed the basis of the algebraic approach proposed by V. P. Platonov to thewell-known fundamental problem of boundedness of torsion in Jacobian varieties of hyperellipticcurves. For elliptic curves over a field of rational numbers, the torsion problem was solved byMazur in the 1970s. For curves of genus 2 and higher over the field of rational numbers, thetorsion problem turned out to be much more complicated, and it is far from its complete solution.The main results obtained in this direction include to the description of torsion subgroups ofJacobian varieties of specific hyperelliptic curves, and also to the description of some familiesof hyperelliptic curves of the genus f >= 2.
In this article, we have found a new method for studying solvability. functional normequations giving a full description hyperelliptic curves over the field of rational numbers, whoseJacobian varieties possess torsion points of given orders. Our method is based on an analyticalstudy of representatives finite order divisors in a divisor class group of degree zero and theirMumford representations. As an illustration of the operation of our method in this article,we directly found all parametric families of hyperelliptic curves of genus two over the field ofrational numbers, whose Jacobian varieties have rational torsion points of orders not exceedingfive. Moreover, our method allows us to determine which parametric family found this curvebelongs, whose Jacobian has a torsion point of order not exceeding five.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.