кандидат физико-математических наук, доцент
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor
В статье дано доказательство полноты перечня одного класса выпуклых симметричных многогранников в трёхмерном евклидовом пространстве. Этот класс принадлежит классу так называемых RR-многогранников. RR-многогранники характеризуются следующими условиями симметрии: у каждого многогранника класса RR существуют симметричные ромбические вершины и существуют грани, не принадлежащие ни одной звезде этих вершин; причём каждая грань, не входящая в звезду ромбической вершины, является правильной. Ромбичность вершины здесь означает, что звезда вершины составлена из n равных, одинаково расположенных ромбов. Симметричность вершины означает, что через неё проходит ось вращения порядка n её звезды. Ранее автором были найдены все многогранники с ромбическими или дельтоидными вершинами и локально симметричными гранями. При этом локально симметричные грани не принадлежат ни одной из ромбических или дельтоидных звёзд. Класс RR-многогранников получается из рассмотренных ранее заменой условия локальной симметрии неромбических граней условием их правильности.
Таким образом, рассматриваемый класс RR связан с известным результатом Н. Джонсона и В. Залгаллера о перечислении всех выпуклых многогранников с условием правильности граней. Но, как показано в настоящей статье, RR-многогранники не могут быть просто получены из класса правильногранных, а требуют специального метода. Настоящая статья посвящена доказательству полноты класса RR-многогранников с двумя изолированными симметричными ромбическими вершинами V, W. При этом ромбы сходятся в вершинах V, W не обязательно своими острыми углами и V, W не обязательно разделены только одним поясом правильных граней.
The article gives proof of the completeness of the list of one class of convex symmetric polyhedra in three-dimensional Euclidean spac. This class belongs to the class of so-called RR-polyhedra. The RR-polyhedra are characterized by the following symmetry conditions: each polyhedron of the class RR has symmetric rhombic vertices and there are faces that do not belong to any star of these vertices; and each face that does not belong to the star of the rhombic vertex is regular. The vertex rhombicity here means that the vertex star is composed of n equal, equally spaced rhombuses. The symmetry of the vertex means that the rotation axis of the order n of its star passes through it. Previously, the author found all polyhedra with rhombic or deltoid vertices and locally symmetric faces. Moreover, locally symmetric faces do not belong to any of the rhombic or deltoid stars. The class of RR-polyhedrons is obtained from the previously considered replacement of the local symmetry condition of the non-rombic faces by the condition of their regularity.
Thus, the considered class RR is connected with the well-known result of D. Johnson and V. Zalgaller on the enumeration of all convex polyhedra with the condition of the regularity of the faces. But as shown in this article, RR-polyhedra cannot simply be obtained from the class of regular-faced, but require a special method. The proof of completeness of the class of RR-polyhedra with two isolated symmetric rhombic vertices V, W is given in this article. Wherein, the rhombuses converge at the vertices of V, W not necessarily at its acute angles, and V, W are not necessarily separated by only one belt of regular faces.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.