аспирант кафедры прикладной математики и информатики
raduate student, Department of Applied Mathematics and Computer Science
В работе изучается константа Никольского (или константа Джексона-Никольского)для комплексных тригонометрических полиномов в пространстве$L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ при $p\ge 1$ с периодическим весом Гегенбауэра$|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:$$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},$$где $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.Д. Джексон (1933) доказал, что $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ длявсех $n\ge 1$. Задача нахождения $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ имеетдолгую историю. Однако точные значения известны только при $p=2$. При $p=1$задача имеет интересные приложения, например, в теории чисел. Отметимрезультаты Я. Л. Геронимуса, Л. В. Тайкова, Д. В. Горбачева, И. Е. Симонова,П. Ю. Глазыриной. Для $p>0$ отметим результаты И. И. Ибрагимова, В. И. Иванова,Е. Левина, Д. С. Любинского, М. И. Ганзбурга, С. Ю. Тихонова, в весовом случае -В. В. Арестова, А. Г. Бабенко, М. В. Дейкаловой, А. Хорват.
Доказывается, что супремум здесь достигается на действительном четномтригонометрическом полиноме с максимумом модуля в нуле. Как следствие,установлена связь с алгебраической константой Никольского с весом$(1-x^{2})^{\alpha}$, исследованная В. В. Арестовым и М. В. Дейкаловой (2015).Доказательство следует их методу и базируется на положительном оператореобобщенного сдвига в пространстве $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ с периодическим весомГегенбауэра. Этот оператор был построен и изучен Д.~В.~Чертовой (2009). Какприложение, предлагается подход к вычислению $\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ наоснове соотношений двойственности Арестова-Дейкаловой.
We study the Nikolskii constant (or the Jackson-Nikolskii constant) forcomplex trigonometric polynomials in the space $L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})$ for$p\ge 1$ with the periodic Gegenbauer weight $|\!\sin x|^{2\alpha+1}$:$$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)=\sup_{T\in \mathcal{T}_{n}\setminus \{0\}}\frac{\|T\|_{\infty}}{\|T\|_{p}},$$where $\|{\,\cdot\,}\|_{p}=\|{\,\cdot\,}\|_{L_{\alpha}^{p}(\mathbb{T})}$.D. Jackson (1933) proved that $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)\le c_{p}n^{1/p}$ for all$n\ge 1$. The problem of finding $\mathcal{C}_{p,-1/2}(n)$ has along history. However, sharp constants are known only for $p=2$. For $p=1$, theproblem has interesting applications, e.g., in number theory. We note theresults of Ja. L. Geronimus, L. V. Taikov, D. V. Gorbachev, I. E. Simonov,P. Yu. Glazyrina. For $p>0$, we note the results of I. I. Ibragimov, V. I. Ivanov,E. Levin, D. S. Lubinsky, M. I. Ganzburg, S. Yu. Tikhonov, in the weight case -V. V. Arestov, A. G. Babenko, M. V. Deikalova, A. Horvath.
It is proved that the supremum here is achieved on a real even trigonometricpolynomial with a maximum modulus at zero. As a result, a connection isestablished with the Nikolskii algebraic constant with weight$(1-x^{2})^{\alpha}$, investigated by V. V. Arestov and M. V. Deikalova (2015).The proof follows their method and is based on the positive generalizedtranslation operator in the space $L^{p}_{\alpha}(\mathbb{T})$ with the periodicGegenbauer weight. This operator was constructed and studied by D. V. Chertova(2009). As an application, we propose an approach to computing$\mathcal{C}_{p,\alpha}(n)$ based on the Arestov-Deikalova duality relations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.