кандидат физико-математических наук, научный сотрудник
Ph. D., researcher
кандидат физико-математических наук, доцент, декан факультета довузовской подготовки
Ph.D., associate professor
аспирант
Ph. D. student
Рациональные числа распределены равномерно, хотя расстояния между соседними рациональными числами в последовательности Фарея могут сильно разниться. Для алгебраических чисел это свойство не выполняется. В 2013 г. Д. Коледа [6, 7] нашел функцию плотности распределения действительных алгебраических чисел любой степени при их естественном упорядочивании.
Можно доказать, что количество действительных алгебраических чисел $ \alpha $ степени $n$ и высоты $H(\alpha ) \le Q$ асимптотически равно $c_{1}(n)Q^{n+1}$. Недавно было доказано, что существуют интервалы длины $Q^{- \gamma }, \gamma >1$, свободные от алгебраических чисел $ \alpha , H( \alpha ) \le Q$, однако уже при $0 \le \gamma <1$ их не менее чем $c_{2}(n)Q^{n+1- \gamma }$.
В работе показано, что специальные интервалы длины $Q^{- \gamma }$ и при больших $ \gamma $ могут содержать алгебраические числа, однако их количество не превосходит $c_{3}Q^{n+1- \gamma }$. Ранее аналогичный результат был получен А. Гусаковой \cite{Gus15} лишь для случая $\gamma = \frac{3}{2}$.
Rational numbers are uniformly distributed, even though distances between rational neighbors in a Farey sequence can be quite different. This property doesn't hold for algebraic numbers.In 2013 D. Koleda [6, 7] found the distribution function for real algebraic numbers of an arbitrary degree under their natural ordering.
It can be proved that the quantity of real algebraic numbers $ \alpha $ of degree $n$ and height $H( \alpha ) \le Q$ asymptotically equals $c_{1}(n)Q^{n+1}$. Recently it was proved that there exist intervals of length $Q^{- \gamma }, \gamma >1$, free of algebraic numbers $ \alpha , H( \alpha ) \le Q$, however for $0 \le \gamma <1$ there exist at least $c_{2}(n)Q^{n+1- \gamma }$ algebraic numbers in such intervals.
In this paper we show that special intervals of length $Q^{-\gamma }$ may contain algebraic numbers even for large values of $ \gamma $, however their quantity doesn't exceed $c_{3}Q^{n+1-\gamma }$. An earlier result by A. Gusakova \cite{Gus15} was proved only for the case $\gamma = \frac{3}{2}$.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.