доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического моделирования
doctor of physical and mathematical sciences, Professor
Обобщенная гипергеометрическая функция определяется суммой степенного ряда, коэффициентами которого являются произведения значений некоторой дробной рациональной функции. Взятые со знаком минус корни числителя и знаменателя этой рациональной функции называются параметрами соответствующей гипергеометрической функции. Для исследования арифметической природы значений гипергеометрических функций и их производных (включая производные по параметру) часто используют метод Зигеля. Соответствующее рассуждение, как правило, начинается с построения функциональной линейной приближающей формы. Если параметры гипергеометрической функции рациональны, то для построения этой формы можно применить принцип Дирихле. При этом построение возможно не только для самих гипергеометрических функций, но и для произведений их степеней. Этим объясняется общность результатов, получаемых таким методом. Если, однако, среди параметров имеются иррациональные числа, то применение принципа Дирихле невозможно, и для проведения соответствующего исследования приходится привлекатьдополнительные соображения.
Одним из способов преодоления затруднения, связанного с наличием иррациональных чисел среди параметров гипергеометрической функции является применение эффективного построения линейной приближающей формы, с которой начинается рассуждение. Первоначально эффективные конструкции построения таких приближений появились для функций специального вида (числитель рациональной функции, с помощью которой определяются коэффициенты гипергеометрической функции должен был равняться единице). Изучение свойств этих приближений показало, что они могут оказаться полезными и в случае рациональных параметров: получаемые с помощью эффективных методов количе ственные результаты оказались точнее их аналогов, полученных методом Зигеля. В дальнейшем методы эффективного построения линейной приближающей формы обобщались в различных направлениях.
В данной работе предлагается новая эффективная конструкция линейной приближающей формы для случая, когда для гипергеометрических функций рассматриваются также и производные по параметру. Эта конструкция используется для уточнения оценки снизу меры линейной независимости значений соответствующих функций.
Generalized hypergeometric function is defined as a sum of the power series whose coefficientsare the products of the values of some fractional rational function. Taken with a minus signroots of a numerator and denominator of this rational function are called parameters of thecorresponding hypergeometric function. For the investigation of the arithmetic nature of thevalues of hypergeometric functions and their derivatives (including derivatives with respect toparameter) one often makes use of Siegel’s method. The corresponding reasoning begins asa rule by the construction of the functional linear approximating form. If parameters of thehypergeometric function are rational one is able to use pigeonhole principle for the constructionof this form. In addition the construction is feasible not only for the hypergeometric functionsthemselves but also for the products of their powers. By this is explained the generality ofresults obtained by such method. But if there are irrational numbers among the parametersthe application of a pigeonhole method is impossible and for carrying out the correspondinginvestigation it is necessary to employ some additional considerations.One of the methods of surmounting the difficulty connected with the irrationality ofsome parameters of a hypergeometric function consists in the application of the effectiveconstruction of the linear approximating form from which the reasoning begins. Primarilyeffective constructions of such approximations appeared for the functions of a special kind(the numerator of the rational function by means of which the coefficients of hypergeometricfunctions are defined was to be equal to unity). The investigation of the properties of theseapproximations revealed the fact that they can be useful in case of rational parameters as wellfor the quantitative results obtained by effective methods turned out to be more precise thantheir analogs obtained by Siegel’s method. Subsequently the methods of effective constructionof linear approximating forms were generalized in diverse directions.In this paper we propose a new effective construction of approximating form in case whenfor the hypergeometric functions derivatives with respect to parameter are also considered. Thisconstruction is made use of for the sharpening of the lower estimates of the linear independencemeasure of the values of corresponding functions.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.