доктор физико-математических наук, профессор
кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры дискретной математики и лаборатории продвинутой комбинаторики и сетевых приложений
Department of Discrete Mathematics
факультет математики
Department of Mathematics
Ph.D., профессор
факультет математики
Mathematics Department
Изучение действий алгебраических групп на алгебраических многообразиях и их координатных алгебрах является важной областью исследований в алгебраической геометрии и теории колец. Эта область связана с теорией полиномиальных отображений, ручных и диких автоморфизмов, проблемой якобиана, теорией бесконечномерных многообразий по Шафаревичу, проблемой сокращения (вместе с другими подобными вопросами), теорией локально нильпотентных дифференцирований. Одной из центральных задач теории действий алгебраических групп является проблема линеаризации, изученная в работе Т. Камбаяши и П. Расселла, утверждающая, что всякое действие тора на аффинном пространстве линейно в некоторой системе координат. Гипотеза о линеаризации была основана на хорошо известной классической теореме А. Бялыницкого — Бирули, которая гласит, что всякое эффективное регулярное действие тора максимальной размерности на аффинном пространстве над алгебраически замкнутым полем допускает линеаризацию.
Несмотря на то что гипотеза о линеаризации оказалась отрицательной в ее общем виде — контрпримеры в положительной характеристике были построены Т. Асанума — теорема Бялыницкого — Бирули остается важным результатом теории благодаря ее связи с теорией полиномиальных автоморфизмов. Недавние продвижения в последней мотивировали поиск различных некоммутативных разновидностей теоремы Бялыницкого — Бирули. В данной статье мы приведем доказательство теоремы о линеаризации эффективного действия максимального тора автоморфизмами свободной ассоциативной алгебры, являющейся таким образом свободным аналогом теоремы Бялыницкого — Бирули.
The study of algebraic group actions on varieties and coordinate algebras is a major areaof research in algebraic geometry and ring theory. The subject has its connections with thetheory of polynomial mappings, tame and wild automorphisms, the Jacobian conjecture ofO.-H. Keller, infinite-dimensional varieties according to Shafarevich, the cancellation problem(together with various cancellation-type problems), the theory of locally nilpotent derivations,among other topics. One of the central problems in the theory of algebraic group actions hasbeen the linearization problem, formulated and studied in the work of T. Kambayashi andP. Russell, which states that any algebraic torus action on an affine space is always linear withrespect to some coordinate system. The linearization conjecture was inspired by the classicaland well known result of A. Bia lynicki–Birula, which states that every effective regular torusaction of maximal dimension on the affine space over algebaically closed field is linearizable.Although the linearization conjecture has turned out negative in its full generality, accordingto, among other results, the positive-characteristic counterexamples of T. Asanuma, theBia lynicki–Birula has remained an important milestone of the theory thanks to its connection tothe theory of polynomial automorphisms. Recent progress in the latter area has stimulated thesearch for various noncommutative analogues of the Bia lynicki–Birula theorem. In this paper, wegive the proof of the linearization theorem for effective maximal torus actions by automorphismsof the free associative algebra, which is the free analogue of the Bia lynicki–Birula theorem.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.