член-корреспондент РАН, доктор физико-математиче-ских наук, профессор
correspondent member of RAS, doctor of physico-mathematicalSciences, Professor
Обзор посвящен классическим и современным задачам, связанным с целой функцией $\sigma({\bf u};\lambda)$, которая определяется семейством неособых алгебраических кривых рода 2, где ${\bf u}= (u_1,u_3)$, $\lambda=(\lambda_4, \lambda_6, \lambda_8, \lambda_{10})$. Эта функция является аналогом сигма-функции Вейерштрасса $\sigma({{u}};g_2,g_3)$ семейства эллиптических кривых. Логарифмические производные порядка 2 и выше функции ${\sigma({\mathbf{u}};\lambda)}$ порождают поле гиперэллиптических функций от ${\mathbf{u}} = (u_1,u_3)$ на якобианах кривых с фиксированным значением вектора параметров $\lambda$. Мы рассматриваем три ряда Гурвица $\sigma({\mathbf{u}};\lambda)=\sum_{m,n\ge0}a_{m,n}(\lambda)\frac{u_1^mu_3^n}{m!n!}$, $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) = \sum_{k\ge 0}\xi_k(u_1;\lambda)\frac{u_3^k}{k!}$ и $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) = \sum_{k\ge 0}\mu_k(u_3;\lambda)\frac{u_1^k}{k!}$. Обзор посвящен теоретико-числовым свойствам функций $a_{m,n}(\lambda)$, $\xi_k(u_1;\lambda)$ и $\mu_k(u_3;\lambda)$. Он включает самые последние результаты, доказательства которых использует тот фундаментальный факт, что функция $\sigma ({\mathbf{u}};\lambda)$ определяется системой четырех уравнений теплопроводности в неголономном репере шестимерного пространства.
This survey is devoted to the classical and modern problems related to the entire function ${\sigma({\mathbf{u}};\lambda)}$,defined by a family of nonsingular algebraic curves of genus~$2$, where ${\mathbf{u}} = (u_1,u_3)$ and$\lambda = (\lambda_4, \lambda_6,\lambda_8,\lambda_{10})$.It is an analogue of the Weierstrass sigma function $\sigma({{u}};g_2,g_3)$ of a family of elliptic curves. Logarithmic derivativesof order 2 and higher of the function ${\sigma({\mathbf{u}};\lambda)}$ generate fields of hyperelliptic functions of ${\mathbf{u}} = (u_1,u_3)$on the Jacobians of curves with a fixed parameter vector $\lambda$.We consider three Hurwitz series $\sigma({\mathbf{u}};\lambda)=\sum_{m,n\ge0}a_{m,n}(\lambda)\frac{u_1^mu_3^n}{m!n!}$, $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) =\sum_{k\ge 0}\xi_k(u_1;\lambda)\frac{u_3^k}{k!}$and $\sigma({\mathbf{u}};\lambda) = \sum_{k\ge 0}\mu_k(u_3;\lambda)\frac{u_1^k}{k!}$.The survey is devoted to the number-theoretic properties of the functions $a_{m,n}(\lambda)$, $\xi_k(u_1;\lambda)$ and $\mu_k(u_3;\lambda)$.It includes the latest results, which proofs use the fundamental fact that the function ${\sigma ({\mathbf{u}};\lambda)}$ is determinedby the system of four heat equations in a nonholonomic frame of six-dimensional space.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.