Данная работа посвящена разработке нового подхода для оценки снизу константы наилучших диофантовых приближений. История вопроса оценки константы наилучших диофантовых приближений восходит к П. Г. Дирихле. С течением времени подходы, применяемые для решения этой задачи претерпели серьезные изменения. Из алгебры (П. Г. Дирихле, А. Гурвиц, Ф. Фуртвенглер) это задача перешла в область геометрии чисел (Г. Дэвенпорт, Дж. В. С. Касселс). Нельзя не отметить такую интересную составляющую данной проблематики, как тесная взаимосвязь диофантовых приближений с геометрией чисел вообще, и алгебраическими решетками в частности (Дж. В. С. Касселс, А. Д. Брюно). Это дало новые возможности, как для применения уже известных результатов, так и для применения новых подходов в проблеме наилучших диофантовых приближений (А. Д. Брюно, Н. Г. Мощевитин).
В середине двадцатого века Г. Дэвенпортом была найдена фундаментальная связь значение константы наилучших совместных диофантовых приближений и критического определителя звездного тела специального вида. Позднее Дж. В. С. Касселс перешел от непосредственного вычисления критического определителя к оценке его значения с помощью вычисления наибольшего значения Vn,s – объема параллелепипеда с центром в начале координат обладающего определенными свойствами. Этот подход позволил получить оценки константы наилучших совместных диофантовых приближений для n = 2, 3, 4 (см. работы Дж. В. С. Касселса, Т. Кьюзика, С. Красса).
В данной работе, основываясь на описанном выше подходе, получены оценки n = 5 и n = 6. Идея построения оценок отличается от работы Т. Кьюзика. С помощью численных экспериментов были получены вначале примерные, а затем и точные значения оценок Vn,s. Доказательство этих оценок достаточно громоздко и представляет в первую очередь техническую сложность. Другим отличием построенных оценок является возможность обобщить их на любую размерность.
В рамках доказательства оценок константы наилучших диофантовых приближений нами был решен ряд многомерных оптимизационных задач. При их решении мы достаточно активно использовали математический пакет Wolfram Mathematica. Эти результаты являются промежуточным шагом для аналиттических доказательств оценок Vn,s и константы наилучших диофантовых приближений Cn для n ≥ 3.
В процессе численных экспериментов была также получена интересная информация о структуре значений Vn,s. Эти результаты достаточно хорошо согласуется с результатами полученными в работах С. Красса. Вопрос о структуре значений Vn,s для больших размерностей мало исследован и может представлять значительный интерес как с точки геометрии чисел, так и с точки теории диофантовых приближений.
This paper is devoted to the development of a new approach for estimating from below the constant of the best Diophantine approximations. The history of this problem dates back to P. G. Dirichlet. Over time, the approaches used to solve this problem have undergone major changes. From algebra (P. G. Dirichlet, A. Hurwitz, F. Furtwengler) this problem has moved into the field geometry of numbers (H. Davenport, J. W. S. Cassels). One cannot fail to note such an interesting component of this problem as the close relationship of diophantine approximations with geometry of numbers in general, and algebraic lattices in particular (J. W. S. Cassels, A. D. Bruno). This provided new opportunities, both for applying the already known results and for application of new approaches to the problem of the best Diophantine approximations (A. D. Bruno, N. G. Moshchevitin).
In the mid-twentieth century, H. Davenport found a fundamental relationship between the value of the constant of the best joint Diophantine approximations and critical determinant of a stellar body of a special kind. Later, J. W. S. Cassels went from directly calculating the critical determinant to estimating its value by calculating the largest value of Vn,s – the volume of the parallelepiped centered at the origin with certain properties. This approach allowed us to obtain estimates of the constant of the best joint Diophantine approximations for n = 2, 3, 4 (see the works of J. W. S. Kassels, T. Cusick, S. Krass).
In this paper, based on the approach described above, the estimates n = 5 and n = 6 are obtained. The idea of constructing estimates differs from the work of T. Cusick. Using numerical experiments, approximate and then exact values of the estimates Vn,s were obtained. The proof of these estimates is rather cumbersome and is primarily of technical complexity. Another difference between constant estimates is the ability to generalize them to any dimension.
As part of the proof of estimates of the constant of the best Diophantine approximations, we have solved a number of multidimensional optimization problems. In solving them, we used the mathematical package Wolfram Mathematica quite actively. These results are an intermediate step for analytical proofs of the estimates of Vn,s and the constant of the best Diophantine approximations Cn for n ≥ 3.
In the process of numerical experiments, interesting information was also obtained on the structure of the values of Vn,s. These results are in good agreement with the results obtained in the works of S. Krass. The question of the structure of the values of Vn,s for large dimensions has been little studied and can be of considerable interest both from the point of geometry of numbers and from the point of theory of diophantine approximations.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.