Рози ввел фрактальное множество, связанное со сдвигом двумерного тора на вектор (β−1, β−2), где β – действительный корень уравнения β3 = β2+ β +1 и показал, что данный фрактал разбивается на три фрактала, являющихся множествами ограниченного остатка относительно данного сдвига тора. Введенное множество получило название фрактала Рози. В дальнейшем были введены многочисленные обобщения фракталов Рози, нашедшие применения в целом ряде задач теории чисел, теории динамических систем и комбинаторики.
Журавлев ввел бесконечную последовательность разбиений исходного фрактала Рози на фрактальные множества и показал, что они также состоят из множеств ограниченного остатка. В настоящей работе рассматривается задача о построении обобщения таких разбиений для фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо.
В работе введена бесконечная последовательность разбиений d − 1-мерных фракталов Рози, связанных с алгебраическими единицами Пизо степени d, на фрактальные множества d типов. Каждое следующее разбиение последовательности является подразбиением предыдущего. Доказан ряд свойств, описывающих самоподобие введенных разбиений.
Показано, что введенные разбиения являются так называемыми обобщенными перекладывающимися разбиениями относительно некоторого сдвига тора. В частности, действие данного сдвига на разбиении сводится к перекладыванию d центральных фигур разбиения. В качестве следствия получено, что разбиение Рози произвольного порядка состоит из множеств ограниченного остатка относительно рассматриваемого сдвига тора.
Также доказано, что орбита рассматриваемого сдвига тора обладает свойством самоподобия.
Rauzy introduced a fractal set associted with the toric shift by the vector (β−1, β−2), where β is the real root of the equation β3 = β2 + β + 1. He show that this fractal can be partitioned into three fractal sets that are bounded remaider sets with respect to the considered toric shift. Later, the introduced set was named as the Rauzy fractal. Further, many generalizations of Rauzy fractal are discovered. There are many applications of the generalized Rauzy fractals to problems in number theory, dynamical systems and combinatorics.
Zhuravlev propose an infinite sequence of tilings of the original Rauzy fractal and show that these tilings also consist of bounded remainder sets. In this paper we consider the problem of constructing similar tilings for the generalized Rauzy fractals associated with algebraic Pisot units.
We introduce an infinite sequence of tilings of the d−1-dimensional Rauzy fractals associated with the algebraic Pisot units of the degree d into fractal sets of d types. Each subsequent tiling is a subdivision of the previous one. Some results describing the self-similarity properties of the introduced tilings are proved.
Also, it is proved that the introduced tilings are so called generalized exchanding tilings with respect to some toric shift. In particular, the action of this shift on the tiling is reduced to exchanging of d central tiles. As a corollary, we obtain that the Rauzy tiling of an arbitrary order consist of bounded remainder sets with respect to the considered toric shift.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.