chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-316-332cheb-721Research ArticleСтатьиArticleО некоторых 3-примитивных полуполевых плоскостяхOn some 3-primitive projective planesКравцоваОльга ВадимовнаKravtsovaOlga Vadimovnaol71@bk.ruШевелеваИрина ВикторовнаShevelevaIrina Viktorovnasheveliv@gmail.com201901032020203316332Copyright © Кравцова О.В., Шевелева И.В., 20202020Кравцова О.В., Шевелева И.В.Kravtsova O.V., Sheveleva I.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/721

Развивается подход к построению и классификации полуполевых проективных плоскостей с использованием линейного пространства и регулярного множества. Решается задача построения проективной плоскости с фиксированными ограничениями на группу коллинеаций (автоморфизмов).Проективная плоскость называется полуполевой, если ее координатизирующее множество есть полуполе, или кольцо с делением. Это алгебраическая система с двумя бинарными операциями, удовлетворяющая всем аксиомам тела, за исключением, возможно, ассоциативности умножения. Коллинеация конечной проективной плоскости порядка p2n (p > 2 простое) называется бэровской, если она фиксирует поточечно подплоскость порядка pn. Если порядок бэровской коллинеации делит pn − 1, но не делит pi − 1 при i < n, то коллинеация называется p-примитивной. Полуполевая плоскость, допускающая такую коллинеацию, также называется p-примитивной.М. Кордеро в 1997 г. построила четыре примера 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 с ядром порядка 9, используя регулярное множество, образованное 2 × 2-матрицами. В статье рассмотрен общий случай 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81 c ядром порядка ≤ 9 и регулярным множеством в кольце 4 × 4-матриц. Полученные авторами ранее независимо теоретические результаты применены для построения матричного представления регулярного множества и группы автотопизмов. Выделено восемь классов изоморфизма 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, включающих примеры М. Кордеро. Разработан алгоритм, оптимизирующий проверку попарной изоморфности полуполевых плоскостей, и его программная реализация. Показана разрешимость полной группы коллинеаций 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81, вычислены порядки автотопизмов, в том числе бэровских.Описано строение попарно неизотопных полуполей порядка 81, координатизирующих восемь попарно неизоморфных 3-примитивных полуполевых плоскостей порядка 81. Найдены спектры мультипликативных луп ненулевых элементов, лево- и правосторонние спектры, максимальные подполя и автоморфизмы. Полученные результаты иллюстрируют гипотезу Г. Венэ о лево- или правопримитивности конечного полуполя и демонстрируют некоторые аномальные свойства конечных полуполей.Методы и алгоритмы, представленные в статье, могут быть использованы для построения и исследования полуполей и полуполевых проективных плоскостей нечетного порядка pn также для p ≥ 3 и n ≥ 4.

We evolve an approach to construction and classification of semifield projective planes with the use of the linear space and spread set. This approach is applied to the problem of existance for a projective plane with the fixed restrictions on collineation group.

A projective plane is said to be semifield plane if its coordinatizing set is a semifield, or division ring. It is an algebraic structure with two binary operation which satisfies all the axioms for a skewfield except (possibly) associativity of multiplication. A collineation of a projective plane of order p2n (p > 2 be prime) is called Baer collineation if it fixes a subplane of order pn pointwise. If the order of a Baer collineation divides pn − 1 but does not divide pi − 1 for i < n then such a collineation is called p-primitive. A semifield plane that admit such collineation is a p-primitive plane.

M. Cordero in 1997 construct 4 examples of 3-primitive semifield planes of order 81 with the nucleus of order 9, using a spread set formed by 2 × 2-matrices. In the paper we consider the general case of 3-primitive semifield plane of order 81 with the nucleus of order ≤ 9 and a spread set in the ring of 4 × 4-matrices. We use the earlier theoretical results obtained independently to construct the matrix representation of the spread set and autotopism group. We determine 8 isomorphism classes of 3-primitive semifield planes of order 81 including M. Cordero examples. 

We obtain the algorithm to optimize the identification of pair-isomorphic semifield planes, and computer realization of this algorithm. It is proved that full collineation group of any semifield plane of order 81 is solvable, the orders of all autotopisms are calculated. 

We describe the structure of 8 non-isotopic semifields of order 81 that coordinatize 8 nonisomorphic 3-primitive semifield planes of order 81. The spectra of its multiplicative loops of non-zero elements are calculated, the left-, right-ordered spectra, the maximal subfields and automorphisms are found. The results obtained illustrate G. Wene hypothesis on left or right primitivity for any finite semifield and demonstrate some anomalous properties.

The methods and algorithsm demonstrated can be used for construction and investigation of semifield planes of odd order pn for p ≥ 3 and n ≥ 4.

ReferencesМазуров В. Д., Хухро Е. И. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь // Российская академия наук. Сибирское отделение. Институт математики. Новосибирск. 2006.Mazurov V. D. & Khukhro E. I. 2006, Unsolved problems in group theory: the Kourovka notebook, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Institute of Mathematics.Hughes D. R., Piper F. C. Projective planes // Springer-Verlag, New-York. 1973.Hughes D. R. & Piper F. C. 1973, Projective planes, Springer-Verlag, New-York.Luneburg H. Translation planes // Springer-Verlag, New-York. 1980.Luneburg H. 1980, Translation planes, Springer-Verlag, New-York.Biliotti M., Jha V., Johnson N. L., Menichetti G. A structure theory for two-dimensional translation planes of order q2 that admit collineation group of order q2 // Geom. Dedicata. 1989. Vol. 29, P. 7–43.Biliotti M., Jha V., Johnson N. L. & Menichetti G. 1989, ”A structure theory for two-dimensional translation planes of order q2 that admit collineation group of order q2”, Geom. Dedicata, vol. 29, pp. 7–43.Huang H., Johnson N. L. 8 semifield planes of order 82 // Discrete Math. 1990. Vol. 80, № 1, P. 69–79.Huang H. & Johnson N. L. 1990, ”8 semifield planes of order 82”, Discrete Math., vol. 80, no. 1, pp. 69–79.Cordero M. Matrix spread sets of p-primitive semifield planes // Internat. J. Math. & Math. Sci. 1997. Vol. 20, № 2, P. 293–298.Cordero M. 1997. ”Matrix spread sets of p-primitive semifield planes”, Internat. J. Math. & Math. Sci., vol. 20, no 2, pp. 293–298.Кравцова О. В. Полуполевые плоскости нечетного порядка, допускающие подгруппу автотопизмов, изоморфную A4 // Известия вузов. Математика. 2016. № 9, c. 10–25.Kravtsova O. V. 2016. ”Semifield planes of odd order that admit the autotopism subgroup isomorphic to A4”, Russian Mathematics (Iz. VUZ), no. 9, pp.10–25.Подуфалов Н. Д., Бусаркина И. В. Группа автотопизмов полуполевой p-примитивной плоскости порядка q4// Алгебра и логика. 1996. T. 35, № 3, с. 334–344.Podufalov N. D. & Busarkina I. V. 1996. ”The autotopism groups of a p-primitive plane of order q4”, Algebra and Logic, vol. 35, is. 3, pp. 188–195.Подуфалов Н. Д., Бусаркина И. В., Дураков Б. К. О группе автотопизмов полуполевой p-примитивной плоскости // в сб. Материалы межрегиональной научной конференции ”Исследования по анализу и алгебре” ТГУ, Томск. 1998. с. 190–195.Podufalov N. D., Busarkina I. V. & Durakov B. K. 1998, ”On the autotopism group of a semifield p-primitive plane”, Ann. of Interregional scientific conference ”Research on Analysis and Algebra”, TSU, Tomsk, pp. 190–195.Podufalov N. D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, № 1, P. 697–705.Podufalov N. D. 1992, ”On spread sets and collineations of projective planes”, Contem. Math., vol. 131, no 1, pp. 697–705.Подуфалов Н. Д., Дураков Б. К., Кравцова О. В., Дураков Е. Б. О полуполевых плоскостях порядка 162 // Сиб. Мат. Журн. 1996. Том 37, № 3, с. 616–623.Podufalov N. D., Durakov B. K., Kravtsova O. V. & Durakov E. B. 1996, ”On the semifield planes of order 162”, Siberian Mathematical Journal, vol. 37, no. 3, pp. 616–623.Hiramine Y., Matsumoto M., Oyama T. On some extension of 1-sread sets // Osaka J. Math. 1987. Vol. 24, P. 123–137.Hiramine Y., Matsumoto M. & Oyama T. 1987, ”On some extension of 1-sread sets”, Osaka J. Math., vol. 24, pp. 123–137.Johnson N. L. Sequences of derivable translation plans // Osaka J. Math. 1988. Vol. 25. P. 519–530.Johnson N. L. 1988, ”Sequences of derivable translation plans”, Osaka J. Math., vol. 25, pp. 519–530.Johnson N. L. Semifield plans of characteristic p admiting p-primitive Baer collineation // Osaka J. Math. 1989. Vol. 26. P. 281–285.Johnson N. L. 1989, ”Semifield plans of characteristic p admiting p-primitive Baer collineation”, Osaka J. Math., vol. 26, pp. 281–285.Cordero M. Semifield plans of order p4 that admit a p-primitive Baer collineation // Osaka J. Math. 1991. Vol. 28. P. 305–321.Cordero M. 1991, ”Semifield plans of order p4 that admit a p-primitive Baer collineation”, Osaka J. Math., vol. 28, pp. 305–321.Cordero-Vourtsanis M. The autotopizm group of p-primitive semifield plans of order p4 // ARS Combinatoria. 1991. Vol. 32. P. 57–64.Cordero-Vourtsanis M. 1991, ”The autotopizm group of p-primitive semifield plans of order p4”, ARS Combinatoria, vol. 32, pp. 57–64.Levchuk V. M., Kravtsova O. V. Problems on structure of finite quasifelds and projective translation planes // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017. Vol. 38, № 4, P. 688–698.Levchuk V. M. & Kravtsova O. V. 2017, ”Problems on structure of finite quasifelds and projective translation planes”, Lobachevskii Journal of Mathematics, vol. 38, no 4, pp. 688–698.Кравцова О. В., Куршакова П. К. К вопросу об изоморфизме полуполевых плоскостей // Вестник КГТУ. Математические методы и моделирование. 2006. № 42, с. 13–19.Kravtsova O. V. & Kurshakova P. K. 2006, ”On the problem of isomorphism of semifield planes”, Vestnik Krasnoyarskogo Gos. Techn. Univ., Krasnoyarsk, vol. 42, pp. 13–19.Kravtsova O. V. On automorphisms of semifields and semifield planes // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2016. Vol. 13, P. 1300–1313.Kravtsova O. V. 2016, ”On automorphisms of semifields and semifield planes”, Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 13, pp. 1300–1313.Albert A. A. Finite division algebras and finite planes // Proc. Sympos. Appl. Math., AMS, Provid. R.I. 1960. Vol. 10, P. 53–70.Albert A. A. 1960, ”Finite division algebras and finite planes”, Proc. Sympos. Appl. Math., AMS, Provid. R.I., vol. 10, pp. 53–70.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.