chebЧебышевский сборникChebyshevskii Sbornik2226-8383Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University10.22405/2226-8383-2019-20-3-cheb-718Research ArticleСтатьиArticleОб одном варианте метода Адамара в теории L-функций ДирихлеOn a version of Hadamard’s method in the theory of Dirichlet’s L-functionsКолпаковаОльга ВикторовнаKolpakovaOlga Viktorovnaolja_k@list.ruПоповО. В.PopovO. V.ovlpopov@yandex.ruЧубариковВладимир НиколаевичChubarikovVladimir Nikolaevichchubarik2009@live.ru201927022020203282295Copyright © Колпакова О.В., Попов О.В., Чубариков В.Н., 20202020Колпакова О.В., Попов О.В., Чубариков В.Н.Kolpakova O.V., Popov O.V., Chubarikov V.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.chebsbornik.ru/jour/article/view/718

В статье дан новый вариант метода Адамара в теории L-функций Дирихле. Доказано этим методом отсутствие нулей L-функций на единичной прямой. Показано, что метод Адамара позволяет получить результаты, которые по точности соответствуют результатам Валле-Пуссена в асимптотическом законе распределения простых чисел. Тем самым расширены возможности метода Адамара. Получены новые оценки дзетовой суммы, скрученной с характером Дирихле по модулю, равному степени нечётного простого числа, что позволяет получить современную границу нулей для соответствующей L-функции Дирихле.

In the paper a new version of the Hadamard’s method in the theory of Dirichlet’s L-functionsis given. We prove of this method of the absence of the L-functions zeroes on the unit line. Weshow that the Hadamard’s method allow to get results, which on the accuracy correspond to theVallee Poussin results in the asymptotical law of the distribution of primes. Of this we extendpossibilities of the Hadamard’s method. New estimations of the zeta-sum twisted together withthe Dirichlet’s character by modulo, equals to the degree of an odd prime number are obtainedthat permits to get the modern limit of zeroes for the corresponding Dirichlet’s L-function.

ReferencesЭйлер Л. Введение в анализ бесконечно малых. М.: ОНТИ, 1936.Euler, L. 1936, “Introduction to the infinitesimal analysis”, Moscow, in Russian.Риман Б. О числе простых, не превышающих данной величины. Сочинения. М.: ОГИЗ, 1948. C. 216–224.Riemann, B. 1948, “Works ”, Moscow, pp. 216–224.Hadamard J. Sur la distribution des zéros de la function ζ(s) et conséquencies arithmetiques // Bull. Soc. Math. France, 1896, 24.Hadamard, J. 1896, “Sur la distribution des zéros de la function ζ(s) et conséquencies arithmetiques”, Bull. Soc. Math. France, 24.de la Valleé Poussin C. J. Recherches analytiques sur la theorie des nombres. Premiere partie: La function ζ(s) de Riemann et les nombres premiers general // Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 1896, bf 20, 183–256.de la Valleé Poussin C. J. 1896, “Recherches analytiques sur la theorie des nombres. Premiere partie: La fonction ζ(s) de Riemann et les nombres premiers general”, Ann. Soc. Sci. Bruxelles, bf 20, pp. 183–256.de la Valleé Poussin C. J. Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée // Memories couronnes de l’Acad. Roy. des Sci. Belgique, 1899–1900, 59, № 1.de la Valleé Poussin, C. J. 1899–1900, “Sur la fonction ζ(s) de Riemann et le nombre des nombres premiers inférieurs à une limite donnée”, Memories couronnes de l’Acad. Roy. des Sci. Belgique, 59, № 1.Weyl H. Zur Abschätzung von ζ(1 + it) // Math. Zs., 1921, bf 10, 88–101.Weyl, H. 1921, “Zur Abschätzung von ζ(1 + it)”, Math. Zs. bf 10, pp. 88–101.Littlewood J. E. Researches in the theory of Riemann ζ-function // Proc. London Math. Soc., 1922, (2)20, XXII–XXVIII.Littlewood, J. E. 1922, “Researches in the theory of Riemann ζ -function”, Proc. London Math. Soc., (2)20, XXII–XXVIII.Landau E. Über die ζ-Funktion und die L-Funktion // Math.Zs., 1924, 20, 105–125.Landau, E. 1924, “Über die ζ -Funktion und die L-Funktion”, Math. Zs., 20, pp. 105–125.Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.Titchmarsch, E. C. 1953, “The theory of the Riemann zeta-function”, Moscow.Чудаков Н. Г. О нулях L-функций Дирихле // Матем. сб., 1936, 1(43), 591–602.Chudakov, N. G. 1936, “On zeros of the Dirichlet L-functions”, Matem. Sb., 1(43), pp. 591–602.Чудаков Н. Г. О нулях функции ζ(s) // Докл. АН СССР, 1936, 187–201.Chudakov, N. G., 1936, “On zeros of the ζ(s) function”, Doklady AN SSSR, pp. 187–201.Виноградов И. М. Новая оценка функции ζ(1 + it) // Изв. АН СССР, сер. матем., 1958, 22, № 2, 161–164.Vinogradov, I. M., 1958, “A new estimation of the function ζ(1+it)”, Izv. AN SSSR, Ser.matem., 22, № 2, pp. 161–164.Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел / 2-е изд., исправленное и дополненное. М.: Физматлит, 1980. 144 с.Vinogradov, I. M. 1980, “The method of trigonometrical sums in the theory of numbers”, 2nd ed., correct. and supplement: Moscow, pp. 144.Коробов Н. М. О нулях функции ζ(s) // Докл. АН СССР, 1958, 118, 231–232.Korobov, N. M. 1958, “On zeros of the ζ(s) function”, Doklady AN SSSR, 118, pp. 231–232.Коробов Н. М. Оценки тригонометрических сумм и их приложения // Усп. матем. наук, 1958, 13, вып. 4, 185–192.Korobov, N. M. 1958, “Estimations of trigonometric sums and their applications”, Uspehi matem. nauk, 13, issue 4, pp. 185–192.Richert H.-E. Zur Abschätzung der Riemannschen Zeta-funktion in der Nahe der Vertikalen σ = 1 // Math. Ann., 1967, 169, № 2, 97–101.Richert, H.-E. 1967, “Zur Abschätzung der Riemannschen Zeta-funktion in der Nahe der Vertikalen σ = 1”, Math. Ann., 169, № 2, pp. 97–101.Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их приложения // Тр. МИАН СССР, 1971, 112, 241–255.Karatsuba, A. A. 1971, “Estimations of trigonometric sums by the Vinogradov method and their applications”, Trudy MIAN SSSR, 112, pp. 241–255.Arkhipov G., Buriev K. Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neibourhood of the line Re(s) = 1 // Integral Transforms and Special Functions, 1993, v. 1, № 1, 1–7.Arkhipov, G., Buriev, K. 1993, “Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neibourhood of the line Re(s) = 1”, Integral Transforms and Special Functions, v. 1, № 1, pp. 1–7.Дэвенпорт Г. Мультипликатиная теория чисел. М.: Физматлит, 1971. 200 с.Davenport, H. 1971, “Multiplicative number theory”, Moscow, pp. 200.Воронин С. М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994, 376 с.Voronin, S. M., Karatsuba, A. A. 1994, “The Riemann zeta-function”, Moscow, pp. 376.Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983. 240 с.Karatsuba, A. A. 1983, “The foundation of the analytic number theory”, Moscow, pp. 240.Popov O. V. On Hadamard’s method concerning zeros of the Riemann zeta-function // Integral Transforms and Special Functions, 1993, v. 1, № 2, pp. 143–144.Popov, O. V. 1993 “On Hadamard’s method concerning zeros of the Riemann zeta-function”, Integral Transforms and Special Functions, v. 1, № 2, pp. 143–144.Попов О. В. Вывод современной границы нулей дзета-функции Римана по методу Адамара // Вестник МГУ, сер. 1, мат., мех., 1994, № 1, 51–54.Popov, O. V. 1994, “The deduction of the modern limit of zeros of the Riemann zeta-function by the Hadamard method”, Vestnik MSU, ser. 1,mat.,mech., № 1, pp. 51–54.Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР, сер. мат., 1955, т. 19, 11–16.Postnikov, A. G. 1955, “On the character sum by modulo, equil to a degree of prime”, Izv. AN SSSR, ser. mat., v. 19, pp. 11–16.Розин С. М. О нулях L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР, сер. мат., 1959, т. 23, 503–508.Rozin, S. M. 1959, “On zeros of the Dirichlet L-series”, Izv. AN SSSR, ser. mat., v. 23, pp. 503–508.Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР, сер. мат., 1964, т. 28, 237–248.Karatsuba, A. A. 1964, “Trigonometric sums of the special form and their aplications”, Izv. AN SSSR, ser. mat., v. 28, pp. 237–248.Чудаков Н. Г. О нулях L-функций Дирихле для модулей, равных степеням нечетного простого // Вестник ЛГУ, сер. мат., мех., 1966, № 1, 93–98.Chudakov, N. G. 1966, “On zeros of the Dirichlet L-functions for modulo, equal to degrees of an odd prime”, Vest. LSU, ser. mat.,mech., № 1, pp. 93–98.Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестник МГУ, сер. 1, мат., мех., 1973, № 2, 46–52.Chubarikov, V. N. 1973, “ A more precise boundary of zeros of the Dirichlet L-series by modulo, equal to degree of an prime”, Vest. MSU, ser. mat.,mech., № 2, pp. 46–52.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.