Статья состоит из двух частей. В первой части излагается обзоррезультатов о наилучшего приближения периодических дифференцируемыйфункций тригонометрическими полиномами в гильбертовом пространстве$$L_{2}:=L_{2}[0,2\pi].$$ Приведены точные неравенства между величиноюнаилучшем приближении функции и усредненными с заданным весомзначениями модулей непрерывности m-го порядка r-той производнойфункции, а также их аналоги для некоторых модификаций модулянепрерывности m-го порядка.
Во второй части статьи приведены некоторые новые точные неравенстватипа Джексона-Стечкина для характеристики гладкости, введеннойК. В. Руновским и более подробно изученнойС. Б. Вакарчуком и В. И. Забутной. Получен точныйрезультат об одновременном приближении функции и ее последовательныхпроизводных для некоторых классов функций, задаваемых указаннойхарактеристикой гладкости.
The paper is consists from two parts. In first part summarizes thereview of findings on best approximation of periodic functions bytrigonometric polynomials in Hilbert space $$L_{2}:=L_{2}[0,2\pi].$$The sharp inequalities between the best approximation and averagedwith given weights modulus of continuity of mth order values rthderivatives of functions and analogues for some modified modulus ofcontinuity presented.
In second part, some new sharp Jackson-Stechkin type inequalitiesfor characteristics of smoothness studied by K. V. Runovski and moredetail by S. B. Vakarchuk and V. I. Zabutnaya are proposed. The sharpresult on joint approximation of function and successive derivativesfor some classes of functions defined by modulus of smoothnessobtained.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.