Основная трудность, с которой приходится иметь дело при исследовании арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций с иррациональнымипараметрами, состоит в том, что общий наименьший знаменатель нескольких первых коэффициентов соответствующих степенных рядов растет слишком быстро с увеличениемчисла этих коэффициентов. Последнее обстоятельство делает невозможным использование известного в теории трансцендентных чисел метода Зигеля для проведения упомянутого исследования. Применение названного метода предполагает использование принципаДирихле для построения функциональной линейной приближающей формы. Это построение является первым этапом длинного и сложного рассуждения, приводящего в конечномитоге к получению требуемого арифметического результата. Попытка применить принципДирихле в случае функций с иррациональными параметрами наталкивается на непреодолимые трудности из-за упомянутого выше слишком быстрого роста общего наименьшегознаменателя коэффициентов соответствующих рядов Тейлора. Вследствие этого в случаефункций с иррациональными параметрами обычно применяют эффективное построениелинейной приближающей формы (или совокупности таких форм при использовании совместных приближений). Коэффициенты построенной формы являются многочленами салгебраическими коэффициентами. Для общего наименьшего знаменателя этих коэффициентов требуется затем получить приемлемую оценку сверху его абсолютной величины.Известные оценки такого рода нуждаются в некоторых случаях в уточнении. Это уточнение осуществляется с применением теории делимости в квадратичных полях; дополнитель-но используются сведения о распределении простых чисел в арифметической прогрессии.В настоящей работе рассматривается один из вариантов эффективного построения совместных приближений для гипергеометрической функции общего вида и ее производных.Общий наименьший знаменатель коэффициентов многочленов, входящих в эти приближения, оценивается затем с помощью уточненного варианта соответствующей леммы. Всеэто позволяет получить новый результат об арифметической природе значений указаннойфункции в малой по абсолютной величине ненулевой точке мнимого квадратичного поля.
The main difficulty one has to deal with while investigating arithmetic nature of the valuesof the generalized hypergeometric functions with irrational parameters consists in the fact thatthe least common denominator of several first coefficients of the corresponding power seriesincreases too fast with the growth of their number. The last circumstance makes it impossibleto apply known in the theory of transcendental numbers Siegel’s method for carrying out theabove mentioned investigation. The application of this method implies usage of pigeon-holeprinciple for the construction of a functional linear approximating form. This constructionis the first step in a long and complicated reasoning that leads ultimately to the requiredarithmetic result. The attempts to apply pigeon-hole principle in case of functions with irrationalparameters encounters insurmountable obstacles because of the aforementioned fast growth ofthe least common denominator of the coefficients of the corresponding Taylor series. Owing tothis difficulty one usually applies effective construction of the linear approximating form (or asystem of such forms in case of simultaneous approximations) for the functions with irrationalparameters. The effectively constructed form contains polynomials with algebraic coefficientsand it is necessary for further reasoning to obtain a satisfactory upper estimate of the modulusof the least common denominator of these coefficients. The known estimates of this type shouldbe in some cases improved. This improvement is carried out by means of the theory of divisibilityin quadratic fields. Some facts concerning the distribution of the prime numbers in arithmeticprogression are also made use of.In the present paper we consider one of the versions of effective construction of thesimultaneous approximations for the hypergeometric function of the general type and itsderivatives. The least common denominator of the coefficients of the polynomials includedin these approximations is estimated subsequently by means of the improved variant of thecorresponding lemma. All this makes it possible to obtain a new result concerning the arithmeticvalues of the aforesaid function at a nonzero point of small modulus from some imaginaryquadratic field.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.