Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет.
Candidate of Physico-mathematical Sciences, docent ofdepartment Higher mathemathics, Bryansk State technical university.
Доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры Высшей математики, Брянский государственный технический университет.
Doctor of physical and mathematical Sciences, Docent,Professor of department Higher mathemathics, Bryansk State technical university.
Оценка меры иррациональности различных трансцендентных чисел является одним из направлений теории диофантовых приближений. Начиная с работ Э. Бореля конца 19 века, разрабатывались как общие методы получения оценок для классов значений некоторых функций, так и специализированные подходы для оценки отдельных величин. Различные методы, в частности, применялись для исследования арифметических свойств значений функции $$\arctg x.$$
Для получения оценок показателя иррациональности значений $$\arctg x$$ многими авторами эта функция рассматривалась как частный случай гипергеометрической функции Гаусса. Одной из первых работ, в которой были получены такие оценки, стала работа М. Хуттнера 1987 г., доказавшего общую теорему об оценках мер иррациональности значений гипергеометрической функции вида $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$$ Большую роль в развитии темы сыграли работы А. Хеймонена, Т. Матала-Ахо и К. Ваананена в которых также был построен метод, позволявший получать оценки показателя иррациональности для значений $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2,$$ в том числе для $$F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\arctg z.$$ Рассмотренный ими подход использовал приближение гипергеометрической функции полиномами Якоби и дал много конкретных результатов.
В последние десятилетия для построения оценок широкое распространение получили методы, использующие интегралы, симметричные относительно какой-либо замены параметров. Впервые интеграл, принципиально использующий свойство симметричности, был применён в работе В. Х. Салихова и позволил получить новую оценку показателя иррациональности для $$\ln 3.$$ Чуть позже В. Х. Салихов, применив аналогичный симметризованный комплексный интеграл, получил новую оценку меры иррациональности числа $$\pi.$$ В этой работе было использовано классическое равенство $$\frac{\pi}{4}=\arctg \frac{1}{2}+\arctg \frac{1}{3}.$$ Таким же способом, то есть с помощью комплексного симметризованного интеграла, в работе Е. Б. Томашевской были оценены значения вида $$\arctg \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2,$$ и улучшены некоторые предыдущие результаты для таких величин. Позднее, Е. Б. Томашевской был разработан аналогичный интеграл для оценки $$\arctg\frac{1}{2},$$ который позволил доказать результат $$\mu(\arctg \frac{1}{2})\leq 11.7116...,$$ остававшийся лучшим до настоящего времени.
В 2014 г. К. Ву и Л. Ванг немного улучшили результат В. Х. Салихова для $$\ln 3,$$ рассмотрев другой тип интегральной конструкции, также использующей симметричность. В данной работе идея К. Ву и Л. Ванга применена для изменения интеграла Е. Б. Томашевской, что позволило улучшить его арифметические свойства и усилить предыдущий результат для меры иррациональности числа $$\arctg\frac{1}{2}.$$
An evaluation of irrationality measure for various transcendental numbers is one of the field in diophantine approximation theory. Starting with the works of Е. Borel at the end of 19th century, were developed both general methods of evaluationfor classes of some functions values and specialized approaches for estimating peculiar numbers.Diverse methods particularly were practiced for the investigating of arithmetic properties of the function $$\arctg x$$ values.
For getting evaluation on irrationality measure of $$\arctg x $$ values many authors regarded them as particular case of Gauss hypergeometric function.One of the first such kind of papers was the article of M. Huttner 1987, who proved a generalized theoremabout estimation on irrationality measure of the Gauss hypergeometric function values $$F_2^1\left(1,\frac{1}{k},1+\frac{1}{k}|\varepsilon x^k\right), k\in\mathbb N, k\geq 2, \varepsilon=\pm 1.$$A big role in progress of theme have been played by works of A. Heimonen, T. Matala"=aho, K. V\"{a}\"{a}n\"{a}nen,in which was also constructed a method for evaluation on irrationality measure of the Gauss hypergeometric function values of the form $$F_2^1\left(1,\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}|z\right), k\in \mathbb N, k\geq 2,$$including $$F_2^1\left(1,\frac{1}{2},\frac{3}{2}|-z^2\right)=\frac {1}{z}\arctg z.$$ The approach considered by them had used approximation of the Gauss hypergeometric function by Jacobi type polynomials andgave a lot of concrete results.
Last decades for evaluation of various numbers were broadly spreading methods, which used symmetric on some changes of variable integrals.Originally, integral qualitatively using the property of symmetry was applied by V.Kh.Salikhov, who used it to got the new estimate for $$\ln 3.$$ A little later V. Kh. Salikhov had applied similar symmetrized complex integral for obtaining new evaluation of $$\pi.$$In that work he put to use classical equality $$\frac{\pi}{4}=\arctg \frac{1}{2}+\arctg \frac{1}{3}.$$The same method, i.e. complex symmetrized integral was used by E. B. Tomashevskaya, who had estimated values of $$\arctg \frac{1}{n}, n\in\mathbb N, n>2$$and some of previous results for such numbers were improved by her. Later on E. B. Tomashevskaya had elaborated analogical integral for estimation of $$\arctg\frac{1}{2},$$which one had allowed to prove the best result until now $$\mu(\arctg \frac{1}{2})\leq 11.7116....$$
In 2014 K. Wu and L. Vang improved the result of V. Kh. Salikhov for $$\ln 3,$$ applying a new type integral construction, which also had used a property of symmetry. In present paper we took the idea of K. Wu and L. Vang and applied it to the integral of E. B. Tomashevskaya. It allowed us to improve arithmetic properties of integral and obtain better result for extent of irrationality $$\arctg\frac{1}{2}.$$
The authors declare that there are no conflicts of interest present.